Hele tall og esker Skriv et svar


Dette spørsmålet er en metode for identifisering og hindring av automatiserte innsendinger.
Smil
:D :) :( :o :shock: :? 8-) :lol: :x :P :oops: :cry: :evil: :twisted: :roll: :wink: :!: :?: :idea: :arrow: :| :mrgreen:
BBCode er
[img] er
[flash] er AV
[url] er
Smil er
Emne
   

Utvid visningen Emne: Hele tall og esker

Re: Hele tall og esker

Innlegg josi » 11/08-2019 12:17

Bravo! En skikkelig solar plexus!

Re: Hele tall og eske

Innlegg Solar Plexsus » 11/08-2019 09:02

La x være lengden på den minste røde esken og la n være antall røde esker.
Da vil summen av overflatene og sidelengdene på de n eskene være

$O_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} [6(x + 3k)^2 + 12(x + 3k)]$

$= \sum_{k=0}^{n-1} [6(3y + 3k)^2 + 12(3y + 3k)] \;\;\; (x=3y)$

$= \sum_{k=0}^{n-1} [54(y + k)^2 + 36(y + k)]$

$= 54\Big[ \sum_{k=0}^{y+n-1} k^2 - \sum_{k=0}^{y-1} k^2 \Big] + 36 \Big[ \sum_{k=0}^{y+n-1} k - \sum_{k=0}^{y-1} k \Big]$

$= 54 \Big[ \frac{(y + n - 1)(y + n)(2y + 2n - 1)}{6} - \frac{y(y - 1)(2y - 1)}{6} \Big] + 36 \Big[ \frac{(y + n - 1)(y + n)}{2} - \frac{(y - 1)y}{2} \Big]$

$= 9[(y + n)(2y^2 + (4n - 3)y + (n - 1)(2n - 1)) - y(2y^2 - 3y + 1)] +18[y^2 + (2n - 1)y + n(n - 1) - y^2 + y]$

$= 9[2y^3 + (6n - 3)y^2 + (6n^2 - 6n + 1)y + n(n - 1)(2n - 1) - 2y^3 + 3y^2 - y] + 18[2ny + n(n - 1)]$

$= 9[6ny^2 + 6n(n - 1)y + n(n - 1)(2n - 1)] + 18[2ny + n(n - 1)]$

$= 9n[6y^2 + 6(n - 1)y + (n - 1)(2n - 1) + 4y + 2(n - 1)]$

$= 9n[6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)]$

$= n[6 \cdot (3y)^2 + 6(3n - 1) \cdot (3y) + 9(n - 1)(2n + 1)]$,

hvilket innebærer at

$(1) \;\; O_n(x) = 3n[2x^2 + 2(3n - 1)x + 3(n - 1)(2n + 1)]$.

Summen av volumene av de n eksene er

$V_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} (x + 3k)^3$

$= \sum_{k=0}^{n-1} (3y + 3k)^3 \;\;\; (x=3y)$

$= \sum_{k=0}^{n-1} 3^3 \cdot (y +k)^3$

$= 27 \Big[ \sum_ {k=0}^{y+n-1} k^3 - \sum_ {k=0}^{y-1} k^3 \Big]$

$= 27 \Big[ \Big( \frac{(y + n - 1)(y + n)}{2} \Big)^2 - \Big( \frac{(y - 1)y}{2}\Big)^2 \Big]$

$= \frac{27}{4} [(y + n - 1)(y + n) - y(y - 1)][(y + n - 1)(y + n) + y(y - 1)]$

$=\frac{27}{4}[2ny + n(n - 1)][2y^2 + 2(n - 1)y + n(n - 1)]$

$= \frac{n}{4}[2 \cdot (3y) + 3(n - 1)][(2 \cdot (3y)^2 + 6(n - 1) \cdot (3y) + 9n(n - 1)]$,

som betyr at

$(2) \;\; V_n(x) = \frac{n}{4}[2x + 3(n - 1)][2x^2 + 6(n - 1)x + 9n(n - 1)]$.

Det er opplyst at

$V_n(x) = O_n(x)$,

som gir

$[2x + 3(n - 1)][2x^2 + 6(n - 1)x + 9n(n - 1)] = 4[6x^2 + 6(3n - 1)x + 9(n - 1)(2n + 1)]$,

som er ekvivalent med

$(3) ;\; 4x^3 + 6(3n - 7)x^2 + 6(6n^2 - 21n + 7)x + 9(n - 1)(n- 4)(3n + 1) = 0$.

Vi observerer at den venstre siden av likning (1) er positiv når n>3. Altså må n<3.

Dermed har vi følgende tre muligheter:

$\bullet \; n=1 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; 4x(x^2 - 6x - 48) = 0$.

$\bullet \; n=2 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; 2(x^3 - 3x^2 - 33x - 63) = 0$.

$\bullet \; n=3 \;\;\; \Rightarrow \;\; 4(x^3 + 3x^2 - 3x - 45) = 0 \;\;\; \Longleftrightarrow \;\;\; 4(x - 3)(x^2 + 6x + 15) = 0$.

Den eneste av disse som har et naturlig tall som rot er den siste likningen. Dermed får vi at x=n=3.

Dette innebærer at den minste gule esken har sidelengde 12 og at (ettersom sidelengden øker med 3) x er delelig med 3, dvs. at x=3y. Ved å sette inn denne substitusjonen i formlene (1) og (2) får vi at

$(4) \;\; O_n(y) = 9n[6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)]$

og

$(5) \;\; V_n(y) = \frac{27n}{4}[2y + n - 1][2y^2 + 2(n - 1)y + n(n - 1)]$.

Det er opplyst at kvotienten

$\frac{V_n(y)}{O_n(y)} = K_n(y)$

er et naturlig tall. Dermed følger det av formlene (4) og (5) at

$(6) \;\; K_n(y) = \frac{3[2y + n - 1][2y^2 + 2(n - 1)y + n(n - 1)]}{4[6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)]} \in \mathbb{N}$.

Nå er

$\frac{3[2y^2 + 2(n - 1)y + n(n - 1)]}{6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)}$

$= \frac{[6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)] - [4y - (n - 1)^2]}{6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)}$

$= 1 - \frac{4y - (n - 1)^2}{6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)}$,

som kombinert formelen (5) gir

$(7) \;\; K_n(y) = \frac{2y + n - 1}{4} - \frac{[2y + n - 1][4y - (n - 1)^2]}{4[6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)]}$

Anta at n er odde, i.e. n=2k+1. Ved å velge

$y = \Big[ \frac{n-1}{2} \Big]^2 = k^2$

og anvende (7) blir resultatet at

$(8) \;\; K_{2k+1}(k^2) = \frac{k(k + 1)}{2}$.

Med andre ord får man ved å velge

$(n,y) = (2k+1,k^2)$

en heltallsverdi for kvotienten

$\frac{V_n(y)}{O_n(y)}$.

Med andre ord gir

$(n,x) = (n,3y) = (2k+1,3k^2)$

en løsning av det aktuelle «eskeproblemet» som innebærer at antall røde, hvite, gule, grønne og blå esker er hhv. 3, 5, 7, 9 og 11.

Re: Hele tall og esker

Innlegg LAMBRIDA » 03/08-2019 19:41

Bare ved prøving og feiling på en vanlig kalkulator. Etter hvert forstod eg systemet i dette.

Re: Hele tall og esker

Innlegg Gjest » 03/08-2019 19:09

LAMBRIDA skrev:Det ser ut som det viser at 11 esker er blå, og at den største esken har sidekanter på 105 cm. Heltallet er 15, og dermed så er alt helt rett. Her er det bare å forsette for dem som ønsker.



hvordan løste du den?

Re: Hele tall og esker

Innlegg LAMBRIDA » 03/08-2019 19:04

Det ser ut som det viser at 11 esker er blå, og at den største esken har sidekanter på 105 cm. Heltallet er 15, og dermed så er alt helt rett. Her er det bare å forsette for dem som ønsker.

Re: Hele tall og esker

Innlegg Gjest » 03/08-2019 18:41

LAMBRIDA skrev:Ja, det stemmer. Det er bare for de røde eskene at de samlede overflatene og kantlengdene mot deres samlede volum, er like i tall.


kan dette stemme?
https://imgbbb.com/image/dYns8

Re: Hele tall og esker

Innlegg LAMBRIDA » 03/08-2019 17:52

Ja, det stemmer. Det er bare for de røde eskene at de samlede overflatene og kantlengdene mot deres samlede volum, er like i tall.

Re: Hele tall og esker

Innlegg Gjest » 03/08-2019 17:38

LAMBRIDA skrev:Det har du fullt rett i. Da er du ikke på villspor, slik Monsen av og til er.

¨
Du skriver følgende:

"Nei, det betyr ikke at summen av flatearealet og kantlengdene er lik volumsummen for hver fargekategori, men at forholdet kan uttrykkes i hele tall. "

Jeg antar at volumet for de neste x antall boksene for hver farge må være 2 eller flere ganger større enn eskenes overflate + kantlengder for å få et forhold med et heltall. Kan dette stemme?

Re: Hele tall og esker

Innlegg LAMBRIDA » 03/08-2019 17:30

Det har du fullt rett i. Da er du ikke på villspor, slik Monsen av og til er.

Re: Hele tall og esker

Innlegg Gjest » 03/08-2019 17:10

er jeg på feilspor dersom jeg har kommet frem til 3 røde esker der første eske er 3 cm?

Re: Hele tall og esker

Innlegg LAMBRIDA » 03/08-2019 12:49

Ja, oppgaven går ut på å finne ut hvor mange esker som er blå. Der kan du stoppe viss du ikke vil finne de etterfølgende løsningene, som da er veldig enkel å finne. Etterfølgende løsninger, som er etter den første fargen og forsetter i det uendelige, regner eg med. Eg har bare nevnt de 35 første eskene, som er fordelt på 5 farger(grupper). Som eg tidligere har nevnt, så er summen av overflaten og kantlengdene for hver farge et forhold til deres samlede volum et helt tall. Forhold betyr at når du deler den samlede volum på den samlede overflate og kantlengder, så skal du få et helt tall.

Re: Hele tall og esker

Innlegg josi » 02/08-2019 23:36

Oppgaven er å finne hvor mange av eskene som er blå. Men du snakker også om etterfølgende løsninger, som du regner med er uendelige. Hva betyr "etterfølgende løsning", og hvordan kan de være uendelige når det er snakk om 35 esker? Og hvilket forhold er det du snakker om som "kan uttrykkes i hele tall" ?

Re: Hele tall og esker

Innlegg LAMBRIDA » 02/08-2019 21:37

Nei, det betyr ikke at summen av flatearealet og kantlengdene er lik volumsummen for hver fargekategori, men at forholdet kan uttrykkes i hele tall.
Men de etterfølgene løsningene er jo uendelige, regner jeg med. Da må det heller gå over fra farger til grupper.

Re: Hele tall og esker

Innlegg josi » 02/08-2019 21:07

Takk for klargjøringen. Et spørsmål dog på tampen: du skriver "På samme måte og kategori er forholdet i hele tall for de hvite, gule og grønne eskene. " Betyr det at summen av flateareal og kantlengder skal være lik volumsumen for hver fargekategori?

Re: Hele tall og esker

Innlegg LAMBRIDA » 02/08-2019 16:22

Alle de 35 terningformede eskene øker sidekantene med 3 cm fra den forrige, så ingen er like store. Det er viktig å finne størrelsen på den aller minste esken, og hvor mange som skal være røde, for at forholdet mellom summen av overflaten pluss kantlengdene til alle de røde, imot deres samlede volum, blir samme tallet. Og videre så blir det å finne ut hvor mange esker det skal være i hver gruppe (lik farge), for at forholdet som eg har nevnt, kan uttrykkes i hele tall.
Håper ingenting er uklart nå.

Topp