Janhaa skrev:

Markus skrev:Finnes det en kropp slik at dens multiplikative gruppe er isomorf til dens additive gruppe?
Siden ingen har kommet med en løsning enda, her er et hint:

[+] Skjult tekst

Anta en slik isomorfi finnes: $\phi: \mathbb{F}^*\to \mathbb{F}^+$, og se på $\phi((-1)^2)$.

er det mat2200 nivå UiO?

Markus skrev:Finnes det en kropp slik at dens multiplikative gruppe er isomorf til dens additive gruppe?
Siden ingen har kommet med en løsning enda, her er et hint:

[+] Skjult tekst

Anta en slik isomorfi finnes: $\phi: \mathbb{F}^*\to \mathbb{F}^+$, og se på $\phi((-1)^2)$.

[+] Skjult tekst

Anta en slik isomorfi finnes; $\varphi: F^*\to F^+$. Da er $0=\varphi(1)=\varphi((-1)^2)=\varphi(-1)+\varphi(-1)=2\varphi(-1)$ så $\text{char}(F)=2$ eller $\varphi(-1)=0$. Dersom $\varphi(-1)=0$ er $1=\varphi^{-1}(0)=\varphi^{-1}(\varphi(-1))=-1$ så vi må ha $\text{char}(F)=2$ uansett. Dermed har vi for alle ikke-null $\alpha \in F$ at $\varphi(\alpha^2)=2\varphi(\alpha)=0=\varphi(1)$, og siden $\varphi$ er en isomorfi er den injektiv så $\alpha^2=1$ for alle ikke-null $\alpha \in F$. Denne likningen har riktignok maksimalt to løsninger over $F$ så siden $\text{char}(F)=2$ må $F$ være kroppen med to elementer. Dette er en selvmotsigelse siden $|F^+|=2\neq1 =|F^*|$

[+] Skjult tekst

Anta en slik isomorfi finnes: $\phi: \mathbb{F}^*\to \mathbb{F}^+$, og se på $\phi((-1)^2)$.