Markus skrev:Følgen $(a_n)$ er definert ved $a_1=1$ og $a_{m+n}+a_{m-n}=\frac12 \left(a_{2m}+a_{2n}\right)$ der $m,n$ er ikke-negative heltall slik at $m\geq n$. Finn $a_{2018}$
Fin oppgave. Siden $a_0=0$ så har vi (med $m=k,n=0$)
\[ 2a_{k} = \frac12a_{2k}, \]
og lar vi $m=k,n=1$, så får vi
\[ a_{k+1}+a_{k-1} = \frac12(a_{2k}+a_2)=2a_k+2.\]
$(a_n)$ må derfor tilfredsstille $a_{k+1}=2a_k-a_{k-1}+2$, og det er nå lett å vise at $a_n=n^2$ er den unike løsningen.
[quote="Markus"]Følgen $(a_n)$ er definert ved $a_1=1$ og $a_{m+n}+a_{m-n}=\frac12 \left(a_{2m}+a_{2n}\right)$ der $m,n$ er ikke-negative heltall slik at $m\geq n$. Finn $a_{2018}$[/quote]
Fin oppgave. Siden $a_0=0$ så har vi (med $m=k,n=0$)
\[ 2a_{k} = \frac12a_{2k}, \]
og lar vi $m=k,n=1$, så får vi
\[ a_{k+1}+a_{k-1} = \frac12(a_{2k}+a_2)=2a_k+2.\]
$(a_n)$ må derfor tilfredsstille $a_{k+1}=2a_k-a_{k-1}+2$, og det er nå lett å vise at $a_n=n^2$ er den unike løsningen.