Sannsynlighet Skriv et svar


Dette spørsmålet er en metode for identifisering og hindring av automatiserte innsendinger.
Smil
:D :) :( :o :shock: :? 8-) :lol: :x :P :oops: :cry: :evil: :twisted: :roll: :wink: :!: :?: :idea: :arrow: :| :mrgreen:
BBCode er
[img] er
[flash] er AV
[url] er
Smil er
Emne
   

Utvid visningen Emne: Sannsynlighet

Re: Sannsynlighet

Innlegg josi » 08/06-2020 12:52

P.S. Det siste tallet i den siste brøken skal være 0.0198 og ikke 0.198 slik at det skal stå:

$\frac{0.00955}{0.00955 + 0.0198}$

Re: Sannsynlighet

Innlegg josi » 08/06-2020 12:43

Majaaa skrev:Hei!

Til den samme oppgaven spør de om å beregne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt testperson faktisk har antistoffer i blodet, gitt en positiv test (T1). For så kommentere svaret.

Jeg har tenkt sånn

P(S|+) = P(+∩S)
P(+) =(P(+|S)P(S) )/ P(+)

Er det noen som kan fortelle om jeg har tenkt riktig, hvis ikke hvordan kan jeg løse det?


Det er lettere å få grep om problemet hvis vi tenker i absolutte tall. Sett at vi testet 10000 personer med testen T1.
Den har sensitiviteten 0.955. Siden utbredelsen av S er 0.01 og antall personer med antistoffer i blodet (S) er ca. 100, vil testen si at omtrent 95 av disse har antistoffer i blodet. Når spesifisiteten er 0.98, vil testen i tillegg si at 2% av de som ikke har disse stoffene i blodet, likevel har det. Det er ca 9900 personer som ikke har antistoffer i blodet. Testen vil klassifisere en del av disse som bærende på antistoffer, dvs. 9900*0.02 som er tilnærmet 200 personer.
Til sammen blir dette 200 + 95 = 295 personer som testen slik klassifiserer. Sannsynligheten for å ha antistoffer i blodet hvis testutfallet er positivt er da lik

$\frac{95}{95 + 200} = 0.32$

Sannsynligheten er altså andelen av dem som testen korrekt klassifiserer som bærere av antistoffer vurdert mot alle som testen har klassifisert som bærere.

Du vil se likheter med den formelen som brukes for å regne ut sannsynligheten:

$P(S) = 0.01, P(T|S) = 0.955, P(\bar T|\bar S) = 0.98, P(T|\bar S) = 1 - P(\bar T|\bar S) = 0.02\\

P(T) = P(S)P(T|S) + P(\bar S)P(\bar T|\bar S) = 0.01\cdot0.955 + 0.99\cdot0.02 = 0.02935\\

P(S|T) = \frac{P(S)P(T|S)}{p(T)} = \frac{P(S)P(T|S)}{P(S)P(T|S) + P(\bar S)P(\bar T|\bar S)} = \frac{0.01\cdot0.955}{0.01\cdot0.955 + 0.99\cdot0.02}\\

= \frac{0.00955}{0.00955 + 0.198} = 0.325$

Hvis du ganger teller og nevner i brøken her med 10000, får du omtrent de samme tallene som i den brøken hvor vi opererte med absolutte tall.

Re: Sannsynlighet

Innlegg josi » 08/06-2020 11:26

Vi har P(S)= 0,01

P(T|S) = 0,955


P(T|\bar S) = 0,98

Nei,
$P(T|\bar S) = 0.02$
Sjansene for å få et positivt testutfall hvis man ikke har antistoffer i blodet er jo ikke 98%!

P(\bar S) =0,99

Bruker jeg formelen

P(S)\cdot P(T|S) + P(\bar S\cdot P(T|\bar S)

så får jeg 97,9 %.

Men jeg skjønner at det er oppklart at svaret skal være 2% via denne formelen:

P(T|\bar S) = 1 - P(\bar T|\bar S)


Har jeg satt inn feil verdier i formelen P(S)\cdot P(T|S) + P(\bar S\cdot P(T|\bar S) ?

sandersander offline

Topp

Re: Sannsynlighet

Innlegg sandersander » 07/06-2020 23:08

josi skrev:Spørsmålet er: Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt testperson får et positivt resultat av test T1.


Et positivt testresultat kan oppstå på to måter:

Testpersonen har antistoffer i blodet og testutfallet indikerer dette, eller testpersonen har ikke antistoffer i blodet, men testutfallet indikerer likevel dette (såkalt falsk positiv).

S = har antistoffer i blodet
T = testresultatet indikerer antistoffer i blodet

Totalsannsynlighet for et positivt testresultat:

$P((S\cap T )\cup (\bar S\cap T)) = $

$P(S)\cdot P(T|S) + P(\bar S\cdot P(T|\bar S)$

Her gir oppgaveteksten informasjon om P(T|S) = testens (T1) sensitivitet = 95.5% og
testens spesifisitet = 98%.

$ P(T|\bar S) = 1 - P(\bar T|\bar S) = $

100% - 98% (testens spesifisitet) = 2%.

Siden utbredelsen P(S) (prevalensen) ikke er oppgitt, kan ikke totalsannsynligheten fullt ut tallfestes.


Vi har P(S)= 0,01

P(T|S) = 0,955

P(T|\bar S) = 0,98

P(\bar S) =0,99

Bruker jeg formelen

P(S)\cdot P(T|S) + P(\bar S\cdot P(T|\bar S)

så får jeg 97,9 %.

Men jeg skjønner at det er oppklart at svaret skal være 2% via denne formelen:

P(T|\bar S) = 1 - P(\bar T|\bar S)


Har jeg satt inn feil verdier i formelen P(S)\cdot P(T|S) + P(\bar S\cdot P(T|\bar S) ?

Re: Sannsynlighet

Innlegg Mie » 07/06-2020 22:29

Gjest skrev:
mie skrev:Hvilke verdier satt du inn i ulikheten for at svaret ble 17% ? Jeg får andre verdier :/



Jeg tror du har misforstått det jeg hadde sagt. Jeg fikk 99.94 % som sluttsvar.
Jeg mente at P(S'|T) for T2 var 17%


Ja, da får jeg lik svar :) Bare jeg som misforstod

Re: Sannsynlighet

Innlegg Gjest » 07/06-2020 22:23

mie skrev:Hvilke verdier satt du inn i ulikheten for at svaret ble 17% ? Jeg får andre verdier :/



Jeg tror du har misforstått det jeg hadde sagt. Jeg fikk 99.94 % som sluttsvar.
Jeg mente at P(S'|T) for T2 var 17%

Re: Sannsynlighet

Innlegg Gjest » 07/06-2020 22:17

Jeg gjorde den sånn:

P(S|T) = P(T ∩ S) / P(T) = P(T|S) P(S) / P(T)

jeg fikk 31.8 % som svar hva fikk du?

Re: Sannsynlighet

Innlegg Majaaa » 07/06-2020 22:11

Hei!

Til den samme oppgaven spør de om å beregne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt testperson faktisk har antistoffer i blodet, gitt en positiv test (T1). For så kommentere svaret.

Jeg har tenkt sånn

P(S|+) = P(+∩S)
P(+) =(P(+|S)P(S) )/ P(+)

Er det noen som kan fortelle om jeg har tenkt riktig, hvis ikke hvordan kan jeg løse det?

Re: Sannsynlighet

Innlegg mie » 07/06-2020 21:47

Hvilke verdier satt du inn i ulikheten for at svaret ble 17% ? Jeg får andre verdier :/

Re: Sannsynlighet

Innlegg josi » 07/06-2020 12:37

Gjest skrev:Hvor høy måtte spesifisiteten ha vært for test T2 for at sannsynligheten for å ikke ha antistoffer i blodet, gitt at man har testet positivt med test T2 skal bli mindre enn 5%?

Jeg fikk at sannsynligheten for å ikke ha antistoffer i blodet, gitt at man har testet positivt med test T2 er 17% men klarte ikke å sette opp en ulikhet for å finne spesifisiteten.


$P(\bar T_2|\bar S)= $
den søkte spesifisiteten til test $T_2$

$P(\bar S|T_2) = 0.05 > \frac{P(\bar S)\cdot P(T_2|\bar S)}{P(T_2)}
= \frac{P(\bar S)\cdot ( 1 - P(\bar T_2|\bar S))}{P(T_2)}$

$P(\bar T_2|\bar S) > \frac{P(\bar S) - 0.05\cdot P(T_2)}{P(\bar S)}$

Re: Sannsynlighet

Innlegg Gjest » 07/06-2020 11:41

Hvor høy måtte spesifisiteten ha vært for test T2 for at sannsynligheten for å ikke ha antistoffer i blodet, gitt at man har testet positivt med test T2 skal bli mindre enn 5%?

Jeg fikk at sannsynligheten for å ikke ha antistoffer i blodet, gitt at man har testet positivt med test T2 er 17% men klarte ikke å sette opp en ulikhet for å finne spesifisiteten.

Re: Sannsynlighet

Innlegg josi » 07/06-2020 10:21

10 uavhengige, tilfeldig valgte personer testes med testen T1, og alle tester negativt. Hva er sannsynligheten for at minst ´en av disse 10 egentlig har vært smittet av koronaviruset og derfor har antistoffer i blodet?

(Her er jeg litt forvirret fordi at jeg skal regne ut sannsynligheten når jeg har en betinget sannsynlighet)


Du blir bedt om å regne ut sannsynligheten for at minst én av ti som har testet negativt har antistoffer i blodet.

Sannsynligheten for at én testperson i dette tilfellet har smittestoffer i blodet er

$P(S|\bar T) = \frac{P(S\cap \bar T)}{P(\bar T)} = \frac{P(S)\cdot P(\bar T|S)}{P(\bar T)} = p$
$ P(\bar T) = 1 - P(T), P(\bar T|S) = 1 - P(T|S)$

Siden det er rimelig å anta at antallet tester, 10, er få i forhold til populasjonen, har vi i praksis å gjøre med en binomisk forsøksrekke, hvor testene er statistisk uavhengige av hverandre med konstant sannsynlighet = p for ett av to utfall.

Sannsynligheten for at minst én av de som har testet negativt, har antistoffer i blodet, er den samme som sannsynligheten for at vi ikke har det tilfellet at ingen av de 10 har antistoffer i blodet.

$X =$ antall forsøkspersoner som har testet positivt og har antistoffer i blodet

$ P(X = 0) = {(1-p)}^{10}$
der 1 - p er sannsynligheten for ikke å ha antistoffer i blodet etter å ha testet negativt.
Sannsynligheten for minst én er da
$ 1 - {(1-p)}^{10}$

Re: Sannsynlighet

Innlegg Gjest » 06/06-2020 22:22

Jeg har ett spørsmål til.

10 uavhengige, tilfeldig valgte personer testes med testen T1, og alle tester negativt. Hva er sannsynligheten for at minst ´en av disse 10 egentlig har vært smittet av koronaviruset og derfor har antistoffer i blodet?

(Her er jeg litt forvirret fordi at jeg skal regne ut sannsynligheten når jeg har en betinget sannsynlighet)

Re: Sannsynlighet

Innlegg Gjest » 06/06-2020 19:50

Tusen takk! :D

Re: Sannsynlighet

Innlegg josi » 06/06-2020 19:18

Gjest skrev:Er P(T) det samme som det du har kalt totalsannsynlighet for et positivt testresultat?


Ja, P(T) gir sannsynligheten for at et positivt testresultat inntreffer. Denne kalles totalsannsynlighet også fordi den summerer sannsynligheten for T over alle distinkte betingelser: sannsynligheten for T gitt S + sannsynligheten for T gitt ikke-S.

Topp