2P 2015 høst LØSNING

• Diskusjon av denne oppgaven

• Oppgaven som pdf

• Løsningsforslag laget av matteprat-bruker Knutdl

DEL EN

Oppgave 1

Prisen er satt ned med 30 %, det vil si at 280 kr er de gjenværende 70 %. Finner ut hvor mye 1 % er:

$\frac{280}{70} = 4$

1% er 4 kr. Da er 100 % (førpris) lik $4 \text{ kr } \cdot 100 = 400$ kr.

Oppgave 2

$3,4 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \\ 3,4 \cdot 4 \cdot 10^{9-3}\\ 13,6 \cdot 10^{6} \\ 1,36 \cdot 10^7$

Oppgave 3

$\frac{4^3\cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}} = \frac{(2^2)^3 \cdot 2^{-6}}{1 \cdot 2^{-2}} \\ = 2^6 \cdot 2^{-6} \cdot 2^2\\= 2^{6-6+2}\\= 2^2= 4$

Oppgave 4

Beløpet hun vant: x

Vekstfaktor til 3,2%: 1,032

Tid: 10 år

Uttrykk : $x \cdot 1,032^{10} = 500138 \\ x= \frac{500138}{1,032^{10}}$

Oppgave 5

Omkrets av jorden: 40 000km = 40 000 000 meter.

Antall personer: $\frac{40000000}{1,6}= \\ \frac{4\cdot 10^{7}}{1,6} = \\ 2,5 \cdot 10^7$

Altså ca. 25 millioner mennesker (mange av dem må være svømmedyktige).

a)

Når man jobber med klassedelt materiale må man forutsette at observasjonene fordeler seg jevnt utover i klassens intervall. Dette er trolig ikke tilfelle, men det beste vi kan forutsette siden vi ikke har detaljkunnskap inne hver klasse. Feilen fra denne forutsetningen blir ofte liten. Median av hundre verdier er gjennomsnittet av verdi 50 og 51. Vi ser at i bedrift A er begge disse i klassen 20 - 40 år. Dvs medianalderen er under 40 år i bedrift A. I bedrift B ligger den i klassen 40 - 60 år, altså høyere.

b)

Gjennomsnittet i klassedelt materiale finnes ved å finne klassemidtpunktene i hver av klassene (30, 50 og 65) og gange disse med respektive frekvenser. Summer alt og del på antall observasjoner.

Gjennomsnitt bedrift B:

$ \frac{30 \cdot 35+50 \cdot 45 + 65 \cdot 20 }{100}=\frac{ 1050+2250 +1300}{100} = \frac{4600}{100} = 46$

Gjennomsnittsalderen er ca. 46 år i bedrift B.

a)

Vi har to punkter og skal lage en lineær modell, (1,60) og (5,90). På 4 uker øker treningsmengden med 30 minutter.

På en uke øker den med $30: 4= 7,5$ som er det vi kaller stigningstallet.

Likningen for en rett linje er gitt som y= ax + b, hvor a er stigningstallet og b er skjæring med y-aksen.

I vårt tilfelle blir det

y= 7,5x + b

Vi bruker første punktet (1, 60) og setter inn for x og y og får

$60 = 7,5 \cdot 1 + b \\ b= 60 - 7,5 \\ b= 52,5$

Modellen blir da

y = 7,5x + 52,5

b)

I uke 40 betyr det at x = 40 i uttrykket:

$y = 7,5 \cdot 40 + 52,5 \\ y = 300 + 52,5 \\ y = 352,5 \quad minutter$

Hun må trene 5 timer og 52 minutter og 30 sekunder, eller ca. seks timer i uken.

Oppgave 8

Vi leser av figuren i oppgaven og ser at startverdien er 10 000 bakterier. Etter en time er det 9000 bakterier. Det betyr at antall bakterier minker med 10% per time. Det gir en vekstfaktor på 0,90.

Uttrykket blir da: $B(x)= 10000 \cdot 0,90^x$

Der x er tidsenheter, i dette tilfelle timer.

a)

Det er 20 elever i hver klasse!!! (Altså et sted uten stykkprisfinansiering).

1A: Gjennomsnitt: $\frac{5 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,4$

1B: Gjennomsnitt: $\frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot 6}{20} \\ \frac{72}{20} = 3,6$

Gjennomsnittet i 1A er 3,4 , og i 1B er det 3,6.

b)

Standardavvik er et mål på spredningen i datamaterialet. Vi er ikke bedt om å regne ut standardavviket, bare begrunne i hvilken klasse det er størst. Dersom mange observasjoner ligger langt fra gjennomsnittet er standardavviket stort. I klasse 1A ser vi at det er mange som har karakter 1 og 2, og 5 og 6. Det er karakterer som ligger langt fra gjennomsnittet på 3,4. Det er faktisk bare tre elever som ligger i det området. I klasse 1B er det 11 elever som ligger rundt gjennomsnittet.

Standardavviket er derfor størst i 1A.

c)

Karakter	Antall (frekvens) A	Kumulativ A	Antall(frekvens) B	Kumulativ B
1	5	5	1	1
2	4	9	3	4
3	2	11	5	9
4	1	12	6	15
5	3	15	4	19
6	5	20	1	20

Den kumulative frekvens for 3 i 1A er 11. Det betyr at 11 personer i klassen har 3 eller dårligere. Den kumulative frekvensen i 1B er 9.

d)

Den relative frekvensen for 6 i 1A er $ \frac{5}{20} = \frac 14$

Den relative frekvensen for 6 i 1B er $ \frac {1}{20}$

a)

Det er fire markante temperaturfall på vannet, derfor er det fire personer som dusjer, dersom de dusjer en og en.

b)

Den lengste dusjperioden er på ca. 12,5 minutter. I den perioden faller temperaturen 4 grader. Den siste som dusjer, bruker 10 minutter, men da er temperaturfallet over 6 grader ( ikke en del av spørsmålet, men en interesant observasjon).

c)

Kl. 7:10 er temperaturen 56 grader. Kl 7:30 er den 58 grader. Det betyr at den stiger en grad på 10 min. Den skal opp til 70 grader, det er 12 grader fra hva den var 7:30. Den bruker da 120 minutter på det. Temperaturen er 70 grader to timer etter 7:30, altså 9:30.

Oppgave 1

Oppgave 2

a)

b)

Geir la på seg: $10,25kg - 3,7 kg = 6,55 kg$

Janne la på seg: $ 9,59kg - 3,7 kg = 5,89 kg$

c)

Lager en linje $y = 7,4$ og finner skjæringspunkt mellom linjen og grafene. Fra figuren i a ser man at det går ca 4,5 måneder før vekten til Geir er doblet, og ca. 5,5 før det samme skjer med Janne.

d)

$\frac{G(12)-G(0)}{12} =\frac{6,55}{12}= 0,55$

Den gjennomsnittlige månedlige veksten er 0,55 kilogram per måned det første året.

$\frac{G(2)-G(0)}{2} =\frac{2,01}{2} =1$

Den gjennomsnittlige veksten de første to månedene er 1 kg per måned.

Oppgave 3

a)

b)

Vekstfaktoren er 3,27. Da er den årlige prosentvise økningen 227%

c)

Modellen er ikke veldig god, viser litt lave tall for 2011 og 2012, men gir et ganske greit bilde av utviklingen.

Oppgave 4

a)

b)

Det blåser sterkere på Vestlandet. Ikke så rart siden det er mer utsatt i forhold til fremherskende vindretninger. Forskjell i gjennomsnitt er på over 5 m/s. Variasjon i vindstyrke er også størst på Vestlandet. Det kan skyldes at målingene her er gjort langs en betydelig lengre kyststripe og svært varierende topografiske forhold, Vi observerer blant annet at de tre målingene på Nord Vestlandet alle ligger godt under gjennomsnittet for området totalt.

Oppgave 5

a)

b)

Samlede renteinntekter er 47 281 kroner.

Oppgave 6

a)

$T(x)= \frac{L \cdot (v-1)\cdot v^x}{v^x-1} = \frac{1000000 \cdot 0,035 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1} = \frac{35000 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1}$

b)

c)

Fra figuren i b ser man at 20 terminer gir et terminbeløp i overkant av 70 000 kroner.

d)

Fra figuren i b ser man at et terminbeløp på 50 000 kroner, gir 35 terminer.

Oppgave 7

a)

Man ser at i det første kvadratet er arealet av det sorte kvadratet lik 1. I den andre kvadratet er arealet av et sort kvadrat $2^2$, og antall kvadrater er også $2^2$. Det totale arealet blir da $A(2)= 2^2 \cdot 2^2 = 2^4$. I den tredje figuren er arealet av ett sort kvadrat lik $3^2$ og antallet er $3^2$. Det totale arealet av sorte kvadrater i figur tre er da $A(3)= 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$. Figur n vil da ha et totalt sort areal på $A(n)= n^4$.

Figur fire: $A(4)= 4^4 = 256$

b)

Se oppgave a.

c)

Figurene er

1, 2, 3.

Kvadratet av disse er:

1, 4, 9.

Antall hvite kvadrater på nederste rad er:

3, 12, 27.

Man observerer at kvadratet av figurnummeret må multipliseres med 3 for å få antall hvite kvadrater på nederste rad: $S(n)= 3n^2$

Løst ved regresjon på Geogebra:

d)

Det totale antall hvite kvadrater er:

Antall kvadrater minus antall svarte kvadrater, som er

$(S(n))^2 - n^4 \\= (3n^2)^2 - n^4 \\=9n^4-n^4\\= 8n^4$