Taylorrekker

[Rolf1]

Noen som kan hjelpe meg med denne oppgaven?

[Bakeren]

Hva får du hvis du finner taylorrekken til sin(x) og setter den inn i uttrykket ditt?

[Bakeren]

Hva får du hvis du finner taylorrekken til sin(x) og setter den inn i uttrykket ditt?

[Rolf1]

Åja, så det er det som er greia? Altså at x i telleren og x^3 i nevneren blir til 0? også kan jeg bare bruke taylorrekken til sin(x) som svar?

[Bakeren]

Nei, se her:
[tex]\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ... \\ f(x) = \frac{x - \sin x}{x^3} \\ f(x) = \frac{x - (x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...)}{x^3}[/tex]

Hva blir rekken da?

[Rolf1]

Rekken blir vel konvergent?

[Andreas345]

?? Du skal finne for hvilken x rekken konvergerer.

Når man kommer til sånne oppgaver pleier vi å benytte oss av kjente rekker for å komme fram til svaret.

Slik som Bakeren sa, så har vi at:[tex]\sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]

Da vil:

[tex]-\sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n+1}\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]

[tex]x-\sin x =\sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]

Er du med på det? Følgende blir:

[tex]\frac{x-\sin(x)}{x^3}=\frac{ \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{x^3}=\sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}\cdot x^{2n-2}}{(2n+1)!}[/tex]

[Rolf1]

Hvordan finner du dette:

[tex]\sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]

[Andreas345]

Ved å bruke formelen for en taylor rekke om 0

[tex]f(0)+\frac {f^{\prime}(0)}{1!}\cdot x+ \frac{f{\prime\prime}(0)}{2!} \cdot x^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}\cdot x^3+ \cdots[/tex]

[tex]sin(0)+cos(0)\cdot x-\frac{sin(0)}{2!}\cdot x^2-\frac{cos(0)}{3!}\cdot x^3[/tex]

[tex]x-\frac{x^3}{3!}+ \cdots [/tex]

Ser dermed at: [tex]\sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]

Edit: Fant et youtube klipp som forklarte det greit
http://www.youtube.com/watch?v=dp2ovDuWhro

[Rolf1]

Ah. Takk!