Volum av omdreiningslegemet

[Nebuchadnezzar]

Hvis vi tegner alle punktene [tex](x,y)[/tex] som passer likningen

[tex]\frac{x^2}{a^2} \, + \, \frac{y^2}{b^2} \, = \, 1[/tex]

får vi en kurve som vi kaller en ellipse. Tallene a og b er halvaksene i ellipsen
a) Finn volumet av den figuren vi får, når vi dreier ellipsen [tex]180^o[/tex] om x-aksen
b) Hvordan kan vi bruke dette resultatet til å bevise volumet av ei kule?

Aner ikke hvor jeg skal begynne, satte det opp slik som dette. Men det blir jo feil


[tex] \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 [/tex]

[tex] = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - 1} \right)}^2}dx} [/tex]

[tex] y = \frac{1}{{15}} \frac{{\sqrt {15} \sqrt {\left( {a - b} \right)\left( {10 a + \sqrt { - 20 {a^2} - 35 ba - 20 {b^2}} + 5 b} \right)} b}}{a} [/tex]

[Vektormannen]

Det blir vel det samme som å dreie [tex]y = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2} x^2}[/tex] 360 grader om x-aksen?

[Nebuchadnezzar]

Tok dessverre ikke helt den omskrivningen...

Og hva blir grensene, klarer ikke helt å se figuren for meg i hodet.

[Vektormannen]

Nå bytta hvis jeg om x og y i sted, så det blir omvendt med a og b, men tenkte slik:

[tex]b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2[/tex]

[tex]a^2y^2 = a^2 b^2 - bx^2 [/tex]

[tex]y^2 = b^2 - \frac{b^2}{a^2}x^2[/tex]

Men jeg er ganske rusten på dette om dagen, så kan godt være det blir feil fremgangsmåte.

[Janhaa]

trur det blir sånn;

[tex]\large V=\pi b^2\int_0^a\left(1-({x\over a})^2\right)\,dx[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Dette funket heller ikke...

Svaret skal bli at volumet er

[tex]\frac{4}{3} \pi ab^2[/tex]

EDIT. mente weenigers forslag, har ikke sett på Janhaa sitt enda.

[Janhaa]

bruk grensene fra -a til a, da får du riktig...

[Nebuchadnezzar]

Jauda, skal regne på det. Tusen takk for hjelpen. Noen tips til hvordan jeg skal sette grensene? Aner ikke hvorfor grensene skal være fra -a til a. Hvorfor ikke fra b til elns...

[Vektormannen]

-a og a er ellipsens skjæringspunkter med x-aksen. Du kan forresten gå videre med det jeg foreslo og komme frem til Janhaa sitt forslag.

[tex]y^2 = b^2 - \frac{b^2}{a^2}x^2[/tex]

[tex]y = b\sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}} = b\sqrt{1-\left(\frac{a}{x}\right)^2}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Var akkuratt det jeg gjorde ^^


[tex] \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 [/tex]

[tex] {b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} [/tex]

[tex] {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} - {b^2}{x^2} [/tex]

[tex] {y^2} = {b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2} [/tex]

[tex] y = \sqrt {{b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}} [/tex]


[tex] = {\rm{ }}\pi {\int\limits_{ - a}^a {\left( {\sqrt {{b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}} } \right)} ^2}dx{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi {b^2}\int\limits_{ - a}^a {1 - {{\left( {\frac{x}{a}} \right)}^2}} dx [/tex]

[tex] = {\rm{ }}\pi {b^2}\left[ {x - \frac{1}{{3{a^2}}}{x^3}} \right]_{ - a}^a [/tex]

[tex] = {\rm{ }}\pi {b^2}\left( {\left( {a - \left( {\frac{1}{{3{a^2}}}{a^3}} \right)} \right) - \left( { - a - \left( {\frac{1}{{3{a^2}}}{{\left( { - a} \right)}^3}} \right)} \right)} \right) [/tex]

[tex] = {\rm{ }}\pi {b^2}\left( {\left( {a - \frac{a}{3}} \right) + \left( {a - \frac{a}{3}} \right)} \right) [/tex]

[tex] = {\rm{ }}\pi {b^2}\left( {\frac{{4a}}{3}} \right) [/tex]

[tex] = \underline{\underline {{\rm{ }}\frac{4}{3}\pi a{b^2}}}[/tex]

Siste spørsmål. Hvordan kan jeg vite at jeg har rotert denne 180 grader, og ikke 360? Virker på meg som om det er akkuratt samme fremmgangsmåten.

[Realist1]

Jeg orker ikke gå gjennom alle utregningene her nå, men kan du definere hva et bestemt integral er for noe? Når du integrerer en funksjon i et visst intervall, forstår du hvorfor svaret blir som det blir? Og skjønner du formelen for volum av et omdreiningslegeme? For hvis du forstår dette så burde det vel være rimelig greit å se forskjellen mellom noe som er dreid 180 og noe som er dreid 360 grader.

[Vektormannen]

Du har rotert funksjonen (som gir en halv ellipse) 360 grader rundt x-aksen. Dersom du hadde rotert hele ellipsen 180 grader rundt, hadde jo det blitt det samme.