jeg lurte bare på om det var noen som kunne si meg hvorfor formelen for å finne volumet i en kule er: 4/3 [symbol:pi] r³
Formel, volum, kule
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
pluto10_eng_8c3
- Cantor
- Innlegg: 136
- Registrert: 24/10-2005 16:01
- Sted: Oslo
hei
Jeg lurer på hvordan man regner det ut med integrasjon. Kunne du vise meg det?
Jeg lurer på hvordan man regner det ut med integrasjon. Kunne du vise meg det?
Tallene er ikke vanskelige...
...men det er rekkefølgen de skal stå i.
...men det er rekkefølgen de skal stå i.
-
ingentingg
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
Her er en forklaring på engelsk om hva man gjør.
http://mathworld.wolfram.com/Sphere.html
se likning 15-17.
Her bytter man koordinatsystem fra vanlige koordinater til sphere koordinater. Dette gjør at integrasjonsgrensene blir veldig enkle. (Man integrerer over en kube).
Når man gjør dette må man multiplisere med en "endringsfaktor" kallt Jacobi determinanten.
http://mathworld.wolfram.com/Sphere.html
se likning 15-17.
Her bytter man koordinatsystem fra vanlige koordinater til sphere koordinater. Dette gjør at integrasjonsgrensene blir veldig enkle. (Man integrerer over en kube).
Når man gjør dette må man multiplisere med en "endringsfaktor" kallt Jacobi determinanten.
Kan gjøre det uten å gjøre om til såkalte sfæriske-koordinater også.
Se bort i fra de verdiene som ikke nevnes her. Jeg har brukt illustrasjonen til noe annet før..
Vi ønsker altså å integrere volumet fra -R, til R på figuren. Vi legger et koordinatsystem i sentrum, med x-akse horisontalt på figuren. Vi ser da at avstanden hele tiden fra x-aksen opp til sirkelen kan skrives som:
[tex]y = \sqrt {R^2 - x^2}[/tex]
Så skal vi altså integrere dette fra -R, til R.(vi summerer altså alle de små aralene de lager)
[tex]V = \pi*\int _{-R}^R (\sqrt {R^2 - x^2})^2 dx[/tex]
[tex]V = \pi * \int _{-R}^R (R^2 - x^2) dx[/tex]
[tex]V = 2*\pi*[R^2x - \frac {x^3}{3}]_0 ^R[/tex]
(den er symmetrisk om sentrum..)
[tex]V = 2\pi*(R^3 - \frac {R^3}{3}) = 2\pi*(\frac {2R^3}{3}[/tex]
[tex]V = \frac {4}{3}\pi R^3[/tex]
Q.E.D
Se bort i fra de verdiene som ikke nevnes her. Jeg har brukt illustrasjonen til noe annet før..
Vi ønsker altså å integrere volumet fra -R, til R på figuren. Vi legger et koordinatsystem i sentrum, med x-akse horisontalt på figuren. Vi ser da at avstanden hele tiden fra x-aksen opp til sirkelen kan skrives som:
[tex]y = \sqrt {R^2 - x^2}[/tex]
Så skal vi altså integrere dette fra -R, til R.(vi summerer altså alle de små aralene de lager)
[tex]V = \pi*\int _{-R}^R (\sqrt {R^2 - x^2})^2 dx[/tex]
[tex]V = \pi * \int _{-R}^R (R^2 - x^2) dx[/tex]
[tex]V = 2*\pi*[R^2x - \frac {x^3}{3}]_0 ^R[/tex]
(den er symmetrisk om sentrum..)
[tex]V = 2\pi*(R^3 - \frac {R^3}{3}) = 2\pi*(\frac {2R^3}{3}[/tex]
[tex]V = \frac {4}{3}\pi R^3[/tex]
Q.E.D
