integrasjon

[superbanan]

noen som kan hjelpe men volum beregning med integrasjon ?

en pyramide med en kvadratisk grunn flate med side lengde 230 meter , og høyde 146 meter. Vi deler så pyramiden i med et plan halveis ned fra toppen. Finn volumet av topp pyramiden ?

[Realist1]

Har ikke hatt dette på skolen enda, men mener på å huske fra en bok jeg bladde i at siden du her skal frem til bare er 115 meter. Så regner du ut fra formelen for volum av en pyramide når du har et siden er 115 meter og den er 73 meter høy.

[Janhaa]

noen som kan hjelpe men volum beregning med integrasjon ?
en pyramide med en kvadratisk grunn flate med side lengde 230 meter , og høyde 146 meter. Vi deler så pyramiden i med et plan halveis ned fra toppen. Finn volumet av topp pyramiden ?

1)
En rask måte å regne ut volumet til pyramiden ved halve høyden (toppen), er å bruke:

[tex]V_{h\over 2}\,=\,{1\over 3}\cdot ({g\cdot h})\,=\,{[/tex][tex]{1\over 3} \cdot 115^2\cdot 73\;(m^3)\,\approx\,3,218\cdot 10^5\,(m^3)[/tex]


2)
Men der skulle utføres med integralreging;

Tenker oss at vi deler opp pyramiden fra topp til bunn ( skiver). Videre antas at skivene/kvadratene hver har en tykkelse dx.
Siden pyramiden har rette kanter vil bredden (på pyramiden) variere lineært. Og kan uttrykkes som ei rett linje gjennom origo:
Har punktene: (-230, 0) og (0, 146) som gir stigningstallet a:[tex]\;a\,=\,{146\over 230}[/tex]
dvs linja:[tex]\;y\,=\,{146\over 230}x\,=\,0,635x[/tex]

G(x) = 0,635x = y (*)

grensene må endres fra h=0 til x=0 og fra h=73 til x=115 ifølge (*)

Ok, volumet kan skrives som;

[tex]\;{V({ved\;h\;halve})}\,=\,{\int_0^{115} G(x)\,dx}\,=\,{0,635\int_0^{115} x^2\,dx}\,=\,[{146\over 230}\cdot {1\over 3}x^3]_0^{115}\,=\,({73\over 345})\cdot 115^3\,=\,({73\over 3})\cdot 115^2\,\approx\,3,218 \cdot 10^{5}\;(m^3)[/tex]



[tex]V(hele\;pyramide)\,=\,{G\cdot H\over 3}\,=\,{230^2\cdot 146 \over 3}\,(m^3)\,\approx\;2,574\cdot 10^6\,(m^3)[/tex]

Forresten observeres:

[tex]{V(hele)\over V(_{h/2})}\,=\,{2,574\cdot 10^6 \over 3,218 \cdot 10^5\,[/tex][tex]{=\,8}[/tex]

[Charlatan]

Beklager, feilpostet

[Janhaa]

Siden oppgava ble brakt på banen igjen - vil jeg vise at volumet av toppen på pyramiden kan utregnes på en 3. måte (en digresjon i forhold til opprinnelig spm).
Altså:

[tex]V(hele)\,=\,V_1\,\approx \,2,574\cdot 10^6\,(m^3)[/tex]

Så kan vi finne volumet av avkappa pyramide vha

[tex]V(avkappa\,pyramide)\,=\,V_2\,=\,{h\over 3}(G\,+\,g\,+\,sqrt{G\cdot g})[/tex]

[tex]V(avkappa\,pyramide)\,=\,V_2\,=\,{73\over 3}(230^2\,+\,115^2\,+\,{230\cdot 115})\,\approx\,2,253\cdot 10^6\,(m^3)[/tex]

Og til slutt beregnes volumet av toppyramiden (volumet ved halve høyden)

[tex]\;V_1\,-\,V_2\,=\,V_{h\over 2}\,\approx \,3,21\cdot 10^5\,(m^3)[/tex]