Løsning av R1 eksamen 22.05.2009

[ettam]

Jeg starter på en løsning her, andre må selvsagt henge seg på!


Oppgavesettet finner du her.


Oppgave 1a1

[tex]f(x)= (x^2+1)^4[/tex]

[tex]f\prime (x) = 4(x^2+1)^3 2x = \underline{\underline{8x(x^2+1)^3}}[/tex]


Oppgave 1a2

[tex]g(x)= x \cdot e^{2x}[/tex]

[tex]g\prime (x) = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = \underline{\underline{(1 + 2x)e^{2x}}}[/tex]


Oppgave 1b

[tex]\lim_{x \to 2} \ \frac{x^2-2x}{x-2} = \lim_{x \to 2} \ \frac{x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} \ x = \underline{\underline{\,2\,}}[/tex]

[edahl]

1f)[tex]\lg a[/tex]

[t0okie]

3c)

[tex]P(A) = 0,7[/tex]
[tex]P(B) = 0,3[/tex]
[tex]P(F|A) = 0,05[/tex]
[tex]P(F|B) = 0,1[/tex]

a)
[tex]P(F) = P(A) \cdot P(F|A) + P(B)\cdot P(F|B) = 0,7\cdot 0,05 + 0,3\cdot 0,1 = 0,035 + 0,03 = \underline{\underline{0,065}}[/tex]

b)
[tex]P(A|F) = \frac{P(A)\cdot P(F|A)}{P(F)} = \frac{0,7 \cdot 0,05}{0,065} = \underline{\underline{0,538}}[/tex]

[M@tte]

Oppgave 2:

a) De er formlike fordi to av vinklene er parvis like store (dette kan sikkert utledes litt mer)

b) Siden de er formlike er forholdet mellom sidene lik:
AC/AB = AD/AC
Kryssmultipliserer og får: AC^2=AD*AB

og..

BC/DB = AB/BC
BC^2 = DB*AB

c) AC^2 + BC^2 = AD*AB + DB*AB = AB (AD+DB)
AD+DB = AB
AC^2 + BC^2 = AB*AB=AB^2

Kanskje dette ble litt forkortet, men tror det er nogenlunde riktig..

[ettam]

Oppgave 1c

[tex]\frac{x-2}{x^2+2x} - \frac{x+2}{x^2-2x} -\frac{4x}{x^2-4} = \frac{x-2}{x(x+2)} - \frac{x+2}{x(x-2)} -\frac{4x}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2)(x-2)}{x(x+2)(x-2)} - \frac{(x+2)(x+2)}{x(x-2)(x+2)} -\frac{4x \cdot x}{(x-2)(x+2)\cdot x}[/tex]

[tex] = \frac{(x^2 - 4x + 4)-(x^2 - 4x + 4)- 4x^2}{x(x+2)(x-2)} = \underline{\underline{-\frac{4x}{x^2-4}}}[/tex]

Over her er det en fortegnsfeil! I det andre leddet i telleren skal det være: [tex]x^2+4x+4[/tex]. Se lengere ned i denne tråden for den riktige løsningen (neste side).



Oppgave 1d1

[tex]\vec {AB} = [5-(-2),4-(-1)] = \underline{\underline{[7, 5]}}[/tex]

[tex]\vec {AC} = [4-(-2),7-(-1)] = \underline{\underline{[6, 8]}}[/tex]

[tex]\vec {BC} = [4-5, 7-4] = \underline{\underline{[-1, 3]}}[/tex]


Oppgave 1d2

[tex]\vec {AB} \cdot \vec {AC} = [7,5] \cdot [6,8] = 42 + 40 = 82 \ne 0[/tex] derfor er vinkelen mellom [tex]\vec {AB}[/tex] og [tex]\vec {AC}[/tex] ikke [tex]90\textdegree[/tex].

[tex]\vec {AB} \cdot \vec {BC} = [7,5] \cdot [-1,3] = -7 + 15 = 8 \ne 0[/tex] derfor er vinkelen mellom [tex]\vec {AB}[/tex] og [tex]\vec {BC}[/tex] ikke [tex]90\textdegree[/tex].

[tex]\vec {AC} \cdot \vec {BC} = [6,8] \cdot [-1,3] = -6 + 24 = 18 \ne 0[/tex] derfor er vinkelen mellom [tex]\vec {AC}[/tex] og [tex]\vec {BC}[/tex] ikke [tex]90\textdegree[/tex].

Svar: [tex]\underline{\underline{Ingen \, av \, vektorene \, er \, vinkelrett \, paa \, hverandre.}}[/tex]

[96xy]

Litt ueinig med ettam på oppgåve 1c. Der fekk eg
[tex] \ -\frac{4}{(x-2)} [/tex]

Eg trur du har gjort ein feil i kvadratsetninga:
[tex] \ (x+2)(x+2) = x^2 + 4x +4) [/tex] Trur du fekk -4x i staden for +4x

[Andrederivert]

Jeg har ikke helt skjønt hvordan jeg skal få til å gjøre polynomdivisjo ordentlig i LaTex, så jeg går rett på 1f.

Oppgave 1f

[tex]\lg (\frac{1}{a^2})+3\cdot\lg a=\lg 1-\lg a^2 + 3 \cdot\lg a=\lg 1-2\cdot\lg a+3\cdot\lg a=\underline{\underline{\lg 1 + \lg a}}[/tex]

[Realist1]

Ja, jeg er enig med 96xy på oppgave 1c

[Realist1]

Oppgave 1f

[tex]\lg (\frac{1}{a^2})+3\cdot\lg a=\lg 1-\lg a^2 + 3 \cdot\lg a=\lg 1-2\cdot\lg a+3\cdot\lg a=\underline{\underline{\lg 1 + \lg a}}[/tex]

Og siden lg1=0, blir svaret bare lga.

Edit: Eller du kan tenke at lg1+lga = lg(a*1) = lga

[Andrederivert]

Oppgave 1f

[tex]\lg (\frac{1}{a^2})+3\cdot\lg a=\lg 1-\lg a^2 + 3 \cdot\lg a=\lg 1-2\cdot\lg a+3\cdot\lg a=\underline{\underline{\lg 1 + \lg a}}[/tex]

Og siden lg1=0, blir svaret bare lga.

Ja, selvfølgelig

[t0okie]

Jeg har ikke helt skjønt hvordan jeg skal få til å gjøre polynomdivisjo ordentlig i LaTex, så jeg går rett på 1f.

Oppgave 1f

[tex]\lg (\frac{1}{a^2})+3\cdot\lg a=\lg 1-\lg a^2 + 3 \cdot\lg a=\lg 1-2\cdot\lg a+3\cdot\lg a=\underline{\underline{\lg 1 + \lg a}}[/tex]

[tex]\lg (\frac{1}{a^2})+3\cdot\lg a= lg (1/a^2) + lg a^3= lg (1/a^2*a^3)= (lg a^3/a^2)= \underline{\underline{\lg a}}[/tex]

[Realist1]

[tex]f(x) = 2x^3 +8x^2 + 2x - 12[/tex]

[tex]f(1) = 2 \cdot 1^3 + 8\cdot 1^2 + 2\cdot 1 - 12 = 2 + 8 + 2 - 12 = \underline{\underline{0}}[/tex]

[tex](2x^3 + 8x^2 + 2x - 12) : (x-1)=\underline{2x^2 + 10x + 12}[/tex]
[tex]\underline{(2x^3-2x^2)}[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ 10x^2 + 2x[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \underline{10x^2 - 10x}[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 12x - 12[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{12x - 12}[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0[/tex]

[tex]f(x) = 2(x-1)(x^2+5x+6)[/tex]

Kun ved et slumpetreff fant jeg ut at dette kan faktoriseres videre. Hvordan finner man egentlig faktorene til et andregradsuttrykk uten nullpunkter, ved regning?

[tex]\underline{\underline{f(x) = 2(x-1)(x+2)(x+3)}}[/tex]

Ulikheten løses ved fortegnsskjema, det orker jeg ikke å stresse med nå.

[t0okie]

ettam har nok rett når det gjelder 1c fordi: -

[quote="ettam"]Oppgave 1c

[tex]\frac{x-2}{x^2+2x} - \frac{x+2}{x^2-2x} -\frac{4x}{x^2-4} = \frac{x-2}{x(x+2)} - \frac{x+2}{x(x-2)} -\frac{4x}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2)(x-2)}{x(x+2)(x-2)} - \frac{(x+2)(x+2)}{x(x-2)(x+2)} -\frac{4x \cdot x}{(x-2)(x+2)\cdot x}[/tex]

[tex] = \frac{(x^2 - 4x + 4)-(x^2 + 4x + 4)- 4x^2}{x(x+2)(x-2)}=\frac{x^2 - 4x + 4 - x^2 - 4x - 4 - 4x^2}{x(x+2)(x-2)} = \underline{\underline{-\frac{4x}{x^2-4}}}[/tex]

(x + 2)(x+2)= (x^2 + 4x + 4) så er det en " - " tegn foran (x^2 + 4x + 4), noe som betyr at fortegnene inne i parantesen skal endres når vi løser opp parantesen. Derfor blir det - 4x - 4 - 4x^2 når vi har løst opp parantesen.

Tror jeg i hvertfall

[Realist1]

ettam har nok rett når det gjelder 1c fordi: -

Oppgave 1c

[tex]\frac{x-2}{x^2+2x} - \frac{x+2}{x^2-2x} -\frac{4x}{x^2-4} = \frac{x-2}{x(x+2)} - \frac{x+2}{x(x-2)} -\frac{4x}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2)(x-2)}{x(x+2)(x-2)} - \frac{(x+2)(x+2)}{x(x-2)(x+2)} -\frac{4x \cdot x}{(x-2)(x+2)\cdot x}[/tex]

[tex] = \frac{(x^2 - 4x + 4)-(x^2 + 4x + 4)- 4x^2}{x(x+2)(x-2)}=\frac{x^2 - 4x + 4 - x^2 - 4x - 4 - 4x^2}{x(x+2)(x-2)} = \underline{\underline{-\frac{4x}{x^2-4}}}[/tex]

(x + 2)(x+2)= (x^2 + 4x + 4) så er det en " - " tegn foran (x^2 + 4x + 4), noe som betyr at fortegnet inne i parantesen skal skiftes når vi løser opp parantesen. Derfor blir det - 4x - 4 - 4x^2 når vi har løst opp parantesen.

Tror jeg i hvertfall

Er det ikke bare til å sette inn en x-verdi i start- og sluttuttrykket og se da?

x=1

[tex]\frac{x-2}{x^2+2x} - \frac{x+2}{x^2-2x} -\frac{4x}{x^2-4} = \frac{1-2}{1^2+2\cdot 1} - \frac{1+2}{1^2-2\cdot 1} -\frac{4\cdot 1}{1^2-4} = \frac{-1}{3} - \frac{3}{-1} -\frac{4}{-3} \\ \ \\ = 4[/tex]

[tex]-\frac{4x}{x^2-4} = -\frac{4}{-3} = \frac43[/tex]

Altså er det feil.

Hvis vi setter det inn i mitt og 96xy's uttrykk, får vi:
[tex]-\frac{4}{x-2} = -\frac{4}{-1} = 4[/tex]

Altså stemmer det hvertfall for x=1, uten at det beviser noe.

[lodve]

Noen genier her som kan prøve å løse oppgave 5 fra R1-eksamenen i år?

Takk