Røtter og Cosinus
Lagt inn: 19/10-2007 19:41
Røtter og cosinus: Bevis at [tex]\underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 \ +sqrt{ 2 + ... + \sqrt{2}}}}} _{\rm{n rot-tegn}} = 2\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}[/tex]
Løsningen på denne er ganske så rett fram med induksjon.
Åpenbart sant for n=0.
Antar:
[tex]\underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 \ +sqrt{ 2 + ... + \sqrt{2}}}}}_{\rm{n rot-tegn}} = 2\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}[/tex]
[tex] \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 \ +sqrt{ 2 + ... + \sqrt{2}}}}}_{\rm{n+1 rot-tegn}} = \sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}} = \sqrt{2\cos^2\frac{\pi}{2^{n+2}} + 2\cos^2\frac{\pi}{2^{n+2}} + 2\sin^2\frac{\pi}{2^{n+2}} - 2\sin^2\frac{\pi}{2^{n+2}}} = [/tex]
[tex]= 2\cos\frac{\pi}{2^{n+2}} [/tex]
Kommentarer:
Bruker at [tex]\cos2x = \cos^2 x - \sin^2 x[/tex]
Trenger ikke tenke på abs-verdi etter kvadratrot da cos er positiv i [0, [symbol:pi] /2).
Egentlig var jeg ikke så forferdelig interessert i denne løsningen. Prøvde heller å finne en algebraisk løsningsmetode, uten direkte hell. Noen som ser en?
Dere kan jo starte med å finne summen algebraisk når n-> [symbol:uendelig].
Løsningen på denne er ganske så rett fram med induksjon.
Åpenbart sant for n=0.
Antar:
[tex]\underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 \ +sqrt{ 2 + ... + \sqrt{2}}}}}_{\rm{n rot-tegn}} = 2\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}[/tex]
[tex] \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 \ +sqrt{ 2 + ... + \sqrt{2}}}}}_{\rm{n+1 rot-tegn}} = \sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}} = \sqrt{2\cos^2\frac{\pi}{2^{n+2}} + 2\cos^2\frac{\pi}{2^{n+2}} + 2\sin^2\frac{\pi}{2^{n+2}} - 2\sin^2\frac{\pi}{2^{n+2}}} = [/tex]
[tex]= 2\cos\frac{\pi}{2^{n+2}} [/tex]
Kommentarer:
Bruker at [tex]\cos2x = \cos^2 x - \sin^2 x[/tex]
Trenger ikke tenke på abs-verdi etter kvadratrot da cos er positiv i [0, [symbol:pi] /2).
Egentlig var jeg ikke så forferdelig interessert i denne løsningen. Prøvde heller å finne en algebraisk løsningsmetode, uten direkte hell. Noen som ser en?
Dere kan jo starte med å finne summen algebraisk når n-> [symbol:uendelig].