matematikk.net

Jævligste prøven jeg noensinne har hatt, spesielt med tanke på at vi fikk knappe 5 timer på den. Spesielt del 2 var fæl. Vanskelige oppgaver som vi aldri før har sett liknende til, kombinert med veldig mye å gjøre.
Skal være glad om jeg klarer 5 på denne, og den bestemmer karakteren min.

Heldagsprøve R2 12.mai 2011


Del 1


Oppgave 1

[tex]\qquad \qquad[/tex] a) Deriver funksjonene

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; 1) \; f(x)=\( \frac{x}{\ln(x)} \)^2 [/tex]

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; 2) \; g(x)=3sin(2x)cos(2x) [/tex]

[tex]\qquad \qquad[/tex] b) Bestem integralene.

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; 1) \; \int 2cos(x)\,dx [/tex]

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; 2) \; \int \frac{4x}{x^2-4}\,dx [/tex]

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; 3) \; \int_0^{4} f(x)\,dx [/tex]

Der figuren nedenfor viser grafen til f.




[tex]\qquad \qquad[/tex] c) Løs likningen: [tex]sin(2x)-cos(2x)=0 \; , \; x \, \in \, \text{R} [/tex]

[tex]\qquad \qquad[/tex] d)

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad [/tex] 1) Bestem summen av rekken.

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 3\,-\,\frac{3}{5}\,+\,\frac{3}{5^2}\,-\,\frac{3}{5^3}\,+\,\dots[/tex]

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad [/tex] 2) Bestem for hvilke verdier av x rekka konvergerer.

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\,+\,2\ln(x)\,+\,2\ln(x)^2\,+\,\dots[/tex]

[tex]\qquad \qquad[/tex] e) Vis at likningen

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad x^2+y^2+z^2-6x+4y=23 [/tex]

[tex]\qquad \qquad[/tex] e) Beskriver en kuleflate.

[tex]\qquad \qquad[/tex] f) Løs differensiallikningene

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; 1) \; y^{\prime}- x y = e^{\frac{x^2}{2}} \, , \; \text{der} \; y(0) \, = \, 2 [/tex]

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; 2) \; y^{\prime\prime} - 6y^{\prime} + 5y = 0 \; \text{der} \; y(0)=2 \; \text{og} \; y^{\prime}(0) = 4 [/tex]


Oppgave 2

Et plan [tex]\alpha[/tex] er gitt ved

[tex]\alpha: \, x + 4y + z - 8 = 0[/tex]

Planet skjærer x-aksen i A, y-aksen i B og z-aksen i C.

[tex]\qquad \qquad[/tex] a) Finn koordinatene til A , B og C.

[tex]\qquad \qquad[/tex] b) Regn ut avstanden fra punktet [tex]D(-1,2,3)[/tex] til [tex]\alpha[/tex]

[tex]\qquad \qquad[/tex] a) Finn volumet av pyramiden ABCD.

En linje l har paramterfremstillingen gitt ved

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x=-1+2t[/tex]

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad y= 2+t[/tex]

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad y=3-6t[/tex]

[tex]\qquad \qquad[/tex] La T være et punkt på linja l.

[tex]\qquad \qquad[/tex] d) Regn ut volumet av pyramiden ABCT

[tex]\qquad \qquad[/tex] e) Hva betyr det geometrisk at dette volumet er uavhengig av t ?


Del 2


Oppgave 3

[tex]\qquad \qquad \; a) \, [/tex] En rekke er gitt ved [tex]S_n \, = \, 1 \, + \, 5 \, + \, 9 \, + \, \dots \, + \, 4n - 3 [/tex]
[tex]\qquad \qquad \; \; \, [/tex] Forklar at rekken er aritmetrisk, og finn et uttrykk for denne summen.

[tex]\qquad \qquad \; b) \, [/tex] Vi skal nå se på en annen rekke

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad S_n \, = \, 2 \, + \, \frac{2}{5} \, + \, \frac{2}{5} \, + \, \dots \, + \, \frac{2}{5^{n-1}}[/tex]

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad [/tex] 1) Finn ett uttrykk for [tex]\, S_n[/tex]

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad [/tex] 2) Finn ved regning hvor mange ledd vi minst må ha med for at [tex] \, S_n \, > \, 2.45[/tex]


[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad [/tex] 3) Vi lar nå antall ledd gå mot uendelig. Bestem rekkens sum dersom den finnes.

[tex]\qquad \qquad \; c) \, [/tex] Vi ser på en endelig geometrisk rekke med variabel kvotient.

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad S(x) \, = \, 2 \, + \, \frac{2x}{5} \, + \, \frac{2x^2}{25} \, + \, \dots \, [/tex]

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad [/tex] 1) Bestem kovergeringsomårode til rekken. Finn ett uttrykk for [tex]\, S(x)[/tex]

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad [/tex] 2) Løs likningene [tex]\;S(x) \, = \, 20[/tex] og [tex]S(x) \, = \, -10[/tex]

[tex]\qquad \qquad \; d) \, [/tex] Bevis formelen

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 1^2 \, + \, 3^2 \, + \, 5^2 \, + \, \dots \, + \, (2n-1)^2 \, = \, \frac{1}{3}n(4n^2-1)[/tex]


Oppgave 4

La f være funksjonen gitt ved

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; f(x) \, = \, 4x + 4sin(x) \; , \; x\in[0,2\pi> [/tex]

[tex]\qquad \qquad[/tex] a) Bestem eventuelle ekstremalpunkter eller terrassepunkter på grafen til f(x).

[tex]\qquad \qquad[/tex] b) Bestem vendepunktene til grafen til f(x)

[tex]\qquad \qquad[/tex] c) Tegn grafen til f(x). Tegn grafen til en funksjon g(x)=4x i samme koordinatsystem.

[tex]\qquad \qquad[/tex] d) Grafene til f(x) og g(x) avgrenser to arealer. Undersøk ved regning om arealene er like store.

[tex]\qquad \qquad[/tex] Figuren nedenfor viser en sirkel med radius 2. Punktene A , B og C ligger på sirkelperiferien slik at [tex]AB \,=\, AC[/tex] og vinkelen [tex]BAC \, = \, x[/tex] der [tex]0<x<\frac{\pi}{2}[/tex]



Det skaverte området på figuren er avgrenset av linjestykkene AB og AC og buen BC. Området har areal F gitt ved.

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad F(x) \, = \, 4x + 4\sin(x)[/tex]

Vi ønsker at dette arealet skal være halvparten så stort som aralet av sirkelen. Bestem x.

[tex]\qquad \qquad[/tex] f) Bestem vendepunktene til grafen til f(x)

Bevis at arealet F på figuren er gitt ved

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad F(x) \, = \, 4x + 4\sin(x)[/tex]


Oppgave 5

a) [tex] \qquad [/tex] Løs differensiallikningen ved regning.

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad y^{\prime\prime} + 4y \, = \, 0[/tex]

b) [tex] \qquad [/tex] Vis at hvis y er en løsning av differensiallikningen i oppgave a, er [tex] u = y + 80 [/tex] en løsningen av differensiallikningen

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad u^{\prime\prime} + 4 u \, = \, 320[/tex]

c) [tex] \qquad [/tex] Forklar at likningen i oppgave b har løsningen

[tex] \qquad \qquad \qquad \qquad u = C cos(2x) + D sin(2x) + 80 [/tex]

På ei øy er det harer og rever. Hvis antallet harer øker, blir det mer mat til revene, og antallet rever øker. Når antallet rever øker, spiser de flere harer, og antallet harer går ned. Hvis det blir for få harer, blir det lite mat til revene, og antallet rever går ned.

På et tidspunkt er det [tex]800[/tex] harer og [tex]50[/tex] rever på øya. La [tex]u(x)[/tex] være antallet rever og [tex]h(x)[/tex] antallet harer x år senere. Vekstfarten for revebestanden er gitt ved.


[tex] \qquad \qquad \qquad \qquad u^{\prime} = \frac{1}{4}h - 150 [/tex]

Vekstfarten for harebestanden er gitt ved

[tex] \qquad \qquad \qquad \qquad h^{\prime} = -16u + 1280 [/tex]

d) [tex] \qquad [/tex] Forklar at funksjonen u må være en løsning av differensiallikningen

[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad u^{\prime\prime} + u \, = \, 320[/tex]

e) [tex] \qquad [/tex] Ifølge c må da funksjonen u være gitt ved.

[tex] \qquad \qquad \qquad \qquad u(x) = C cos(2x) + D sin(2x) + 80 [/tex]

Vis at funksjonen h må være gitt ved

[tex] \qquad \qquad \qquad \qquad h(x) = -8 C sin(2x) + 8 D cos(2x) + 600 [/tex]

f) Vis at [tex] \; C \, = \, -30 \; [/tex] og [tex] \; D \, = \, 25 [/tex]

g) Tegn i ett koordinatsystem grafer som viser antallet rever og antallet harer de første 5 årene.

h) Omform u(x) ved regning og skriv uttrykket på formen

[tex] \qquad \qquad \qquad \qquad u(x) \, = \, a sin(kx+c) \, + \, d [/tex]

i) Finn ved regning når det er flest rever på øya i løpet av de første 5årene.
Hvor mange rever og hvor mange harer er det da?

Det var synd! Forhåpentligvis var det mange som synes den var vanskelig, for da flytter de karaktergrensene.


PS For å legge inn en indentering i LaTeX kan du bruke \hspace:
[tex]\hspace{250cm}x^2 = z[/tex]

Mange små oppgaver som går fort her, men jeg ser poenget ditt i at det blir i meste laget hvis både 4 og 5 var like store.

Stemningen var vel amper etter denne, kan jeg tenke meg.

Da var resten av prøven også lagt til, ingen på hele trinnet ble ferdige... Var spesielt siste oppgave som virkelig dyttet meg over kanten.

Sykt stor prøve. Dere får gå sammen og klage. Da dytter de nok skalaen ned.

ang oppg 4d)
de mener, forstår jeg:

[tex]4x+4\sin(x)=2\pi[/tex]
dvs
[tex]2x+2\sin(x)-\pi=0[/tex]

dette er en transcedent likning, som vel ikke kan løses algebraisk med R2-pensum?
Eller tar jeg feil...
evt
1)
Newtons approksimasjonsmetode ved 0 < x < [symbol:pi]/2
2)
Skjæringssetninga
3)
grafisk

artig prøve forresten, men fryktelig arbeidsmengde...enig der

ang oppg 4 e)
kall sentrum for S og lag likebeinte trekanter samt en sirkelsektor.
dvs
[tex]\text A(trekant)=0,5*2^2*\sin(\pi -x)=2\sin(x)[/tex]

[tex]\text A(sirkelsektor)=0,5*4x*2=4x[/tex]

[tex]\text A(skravert)=2A(tekanter)\,+\,A(s.s.)=4\sin(x)\,+\,4x[/tex]

q.e.d.

Dette var da svært vanskelig for å være R2. Jeg skal selv ha eksamen i Differensialligninger på universitetsnivå om 2 uker, og likevel har jeg problemer med disse diff-ligning oppgavene. Dette til tross for at jeg får til omtrent samtlige oppgaver gitt på tidligere eksamener her på universitetet. Inkludert tyngre stoff som partielle differensialligninger og Fourier rekker.

Vil råde dere til å levere en felles klage på dette.

Oppgave 5a) og b) gir liten mening. Må være en skrivefeil eller noe. Virker kanskje som det skulle ha stått [tex]y^{,,}+4y=0[/tex] og [tex]u^{,,}+4u=320[/tex] ?

plutarco skrev:Oppgave 5a) og b) gir liten mening. Må være en skrivefeil eller noe. Virker kanskje som det skulle ha stått [tex]y^{,,}+4y=0[/tex] og [tex]u^{,,}+4u=320[/tex] ?

Akkurat det samme tenkte jeg.

Kan heller ikke fatte at de i 5 c) får uttrykk av typen [tex]cos(2x)[/tex]. Dersom uttrykket i 5 a) er korrekt, så skal vi ikke få dette 2-tallet.

krje1980 skrev:

plutarco skrev:Oppgave 5a) og b) gir liten mening. Må være en skrivefeil eller noe. Virker kanskje som det skulle ha stått [tex]y^{,,}+4y=0[/tex] og [tex]u^{,,}+4u=320[/tex] ?

Akkurat det samme tenkte jeg.

Kan heller ikke fatte at de i 5 c) får uttrykk av typen [tex]cos(2x)[/tex]. Dersom uttrykket i 5 a) er korrekt, så skal vi ikke få dette 2-tallet.

Nei, jeg regnet gjennom hele oppgave 5 nå og det er en feil i 5a) , b) og d). Det riktige er

5a)

[tex]y^{,,}+4y=0[/tex]

5b), d)

[tex]u^{,,}+4u=320[/tex]

Da blir karakteristisk ligning [tex]\lambda^2+4=0[/tex], og [tex]y(x)=C\cos(2x)+D\sin(2x)[/tex]. Innsetting av u=y+80 i a) gir ligningen i b), og hele oppgave 5 er egentlig veldig rett frem.

Fikset opp tallene mine =)

Antakeligvis er hele denne prøven, inkludert oppgave 5 veldig lett for deg plutarco.

Men jeg er dessverre ikke deg, og har ikke engang fullført R2 enda. Derfor blir det veldig mye for meg å gjøre, i tilleg til at vanskelighetsgraden er høy. Men det er kanskje bare meg.
Blir litt surt å få oppgaver man aldri før har løst, og heller ikke får tid til å se på. Klarte a) b) og c) på siste delen knapt nok.

Fint du la ut denne

Så fikk jeg en ekstra utfordring under forberedelsene til eksamen, tenkte jeg kunne regne gjennom den og se hva jeg fikk til den så ike helt beint fram ut...

Enig i at vanskegraden er for stor, hva tiden angår gikk det fint for meg når jeg hoppet over 2 deloppgaver jeg ikke fikk til, brukte 4h 10 min, hvorav del 5 tok opp knapt 1 time.

men noe av oppg. 5 ligger utenfor det boken har skrevet om diffligninger, altså som vi skal kunne løse.

Forøvrig er jeg glad det ikke er denne prøven som skal bestemme min karakter, og håper eksamen blir bedre, synes de tidl. eksamenene har vært lettere enn denne prøven...

Er det mulig det har sneket seg inn en feil i oppgaveteksten til 3 d) ?
Formelen kan motbevises v. å sette n=1.

Ellers har jeg sikkert gjort mye tull på resten også, kan legge ut det jeg har gjort litt senere hvis jeg får tid, så får vi se ...

Oppgave 1 e) fikk jeg merkelig nok ikke til, (muligens for lenge siden jeg gjorde det kapittelet), hvordan skal den egentlig gjøres?

En kuleflate med senter i (a,b,c) og radius r beskrives av en ligning på formen [tex](x - a)^2 + (y - b)^2 + (z-c)^2 = r^2[/tex] (med ord: avstanden fra (a,b,c) til et hvert punkt (x,y,z) på flaten skal være lik r)

Med andre ord må du vise at ligningen som står i oppgaven er ekvivalent med en ligning på en slik form. Det gjør du enklest ved å fullføre kvadratet for x og y.

EDIT: fikset hjernedød feil

mstud skrev:Fint du la ut denne
Enig i at vanskegraden er for stor, hva tiden angår gikk det fint for meg
Er det mulig det har sneket seg inn en feil i oppgaveteksten til 3 d) ?
Formelen kan motbevises v. å sette n=1.

3 d)
[tex]\text summen er lik:\,\,\,\Large \frac{n(4n^2-1)}{3}[/tex]