Heldagsprøve R1 - Våren 2009
Lagt inn: 21/04-2009 16:57
Hadde tentamen i dag, legger den ut på samme måte som jeg har gjort med alle andre prøver vi har hatt. Kanskje noen får nytte av det?
Del 1 varer i to timer, og er komplett uten hjelpemidler. Kun penn og linjal.
Del 2 varer i tre timer, og da får vi bruke kalkulator, bøker og egentlig alt som ikke går under kommunikasjon.
DEL 1
Oppgave 1
I et koordinatsystem med origo [tex]O[/tex] er gitt punktene [tex]A=(4,2)[/tex], [tex]B=(1,4)[/tex] og [tex]C=(-2, -1)[/tex].
a) Finn [tex]\vec{BA}[/tex] og [tex]\vec{BC}[/tex].
b) Et punkt [tex]D[/tex] danner sammen med [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] og [tex]C[/tex] et parallellogram med [tex]AC[/tex] som diagonal. Finn koordinatene til punktet [tex]D[/tex].
c) Vi har gitt et punkt [tex]E[/tex] slik at [tex]\vec{OE} = \left[4,2\right]+t\left[-3,2\right] \ \ , \ \ t \in \mathbb{R}[/tex] Vis at punktet [tex]E[/tex] ligger på linja gjennom [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex].
d) Finn [tex]\left|\vec{OE}\right|[/tex] uttrykt ved [tex]t[/tex].
e) Bestem [tex]t[/tex] når [tex]\left|\vec{OE}\right|=\left|\vec{OA}\right|[/tex].
Oppgave 2
Deriver funksjonene.
a) [tex]f(x)=x \cdot \ln{x}[/tex]
b) [tex]g(x)=2xe^{x^2+1}[/tex]
Oppgave 3
Finn de eksakte løsningene av likningene
a) [tex]3\left(\ln{x}\right)^2 - \ln{x} = 0[/tex]
b) [tex]e^{3x} - 3e^{2x} + 2e^{x} = 0[/tex]
Oppgave 4
a) En funksjon [tex]f[/tex] er kontinuerlig men ikke deriverbar i punktet [tex](2, 1)[/tex]. Tegn en skisse av grafen til en mulig funksjon [tex]f[/tex].
b) Bestem følgende grenseverdi dersom den eksisterer:
[tex]\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 4x}{x-2}[/tex]
Oppgave 5
La [tex]f[/tex] være polynomfunksjonen gitt ved [tex]f(x)=2x^3-4x^2-10x+12[/tex].
a) Vis at [tex]f(x)[/tex] er delelig med [tex]x+2[/tex].
b) Faktoriser [tex]f(x)[/tex] i førstegradsfaktorer.
Oppgave 6
En trekant [tex]ABC[/tex] er innskrevet i en sirkel med sentrum [tex]S[/tex]. Buen [tex]AC=120^{o}[/tex] og [tex]\angle CSB=90^{o}[/tex]. Finn vinklene i [tex]\Delta ABC[/tex].
Del 2 følger.
Del 1 varer i to timer, og er komplett uten hjelpemidler. Kun penn og linjal.
Del 2 varer i tre timer, og da får vi bruke kalkulator, bøker og egentlig alt som ikke går under kommunikasjon.
DEL 1
Oppgave 1
I et koordinatsystem med origo [tex]O[/tex] er gitt punktene [tex]A=(4,2)[/tex], [tex]B=(1,4)[/tex] og [tex]C=(-2, -1)[/tex].
a) Finn [tex]\vec{BA}[/tex] og [tex]\vec{BC}[/tex].
b) Et punkt [tex]D[/tex] danner sammen med [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] og [tex]C[/tex] et parallellogram med [tex]AC[/tex] som diagonal. Finn koordinatene til punktet [tex]D[/tex].
c) Vi har gitt et punkt [tex]E[/tex] slik at [tex]\vec{OE} = \left[4,2\right]+t\left[-3,2\right] \ \ , \ \ t \in \mathbb{R}[/tex] Vis at punktet [tex]E[/tex] ligger på linja gjennom [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex].
d) Finn [tex]\left|\vec{OE}\right|[/tex] uttrykt ved [tex]t[/tex].
e) Bestem [tex]t[/tex] når [tex]\left|\vec{OE}\right|=\left|\vec{OA}\right|[/tex].
Oppgave 2
Deriver funksjonene.
a) [tex]f(x)=x \cdot \ln{x}[/tex]
b) [tex]g(x)=2xe^{x^2+1}[/tex]
Oppgave 3
Finn de eksakte løsningene av likningene
a) [tex]3\left(\ln{x}\right)^2 - \ln{x} = 0[/tex]
b) [tex]e^{3x} - 3e^{2x} + 2e^{x} = 0[/tex]
Oppgave 4
a) En funksjon [tex]f[/tex] er kontinuerlig men ikke deriverbar i punktet [tex](2, 1)[/tex]. Tegn en skisse av grafen til en mulig funksjon [tex]f[/tex].
b) Bestem følgende grenseverdi dersom den eksisterer:
[tex]\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 4x}{x-2}[/tex]
Oppgave 5
La [tex]f[/tex] være polynomfunksjonen gitt ved [tex]f(x)=2x^3-4x^2-10x+12[/tex].
a) Vis at [tex]f(x)[/tex] er delelig med [tex]x+2[/tex].
b) Faktoriser [tex]f(x)[/tex] i førstegradsfaktorer.
Oppgave 6
En trekant [tex]ABC[/tex] er innskrevet i en sirkel med sentrum [tex]S[/tex]. Buen [tex]AC=120^{o}[/tex] og [tex]\angle CSB=90^{o}[/tex]. Finn vinklene i [tex]\Delta ABC[/tex].
Del 2 følger.