Integrasjon

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Integrasjon

Innlegg Kay » 11/10-2017 22:41

Anta at [tex]\frac{f(x)}{x}[/tex] er integrerbar på ethvert interval [tex][a,b][/tex], [tex]0<a<b[/tex] og at [tex]\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=A[/tex] og at [tex]\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=B[/tex]. Vis at for alle [tex]\alpha, \beta >0[/tex] så er [tex]\int_0^\infty \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx = (A-B)log\frac{\beta}{\alpha}[/tex]
Kay offline
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 167
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Integrasjon

Innlegg plutarco » 13/10-2017 19:53

Kay skrev:Anta at [tex]\frac{f(x)}{x}[/tex] er integrerbar på ethvert interval [tex][a,b][/tex], [tex]0<a<b[/tex] og at [tex]\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=A[/tex] og at [tex]\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=B[/tex]. Vis at for alle [tex]\alpha, \beta >0[/tex] så er [tex]\int_0^\infty \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx = (A-B)log\frac{\beta}{\alpha}[/tex]


Vi betrakter integralet $\int_a^b \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}\,dx$ og lar $a\to 0, b\to\infty$.

$\int_a^b \frac{f(\alpha x)}{x}\,dx=\alpha \int_a^b \frac{f(\alpha x)}{\alpha x}\,dx$.

Sett $y=\alpha x$, så $dy=\alpha dx$. Det gir

$\alpha \int_a^b \frac{f(\alpha x)}{\alpha x}\,dx= \int_{\alpha a}^{\alpha b}\frac{f(y)}{y}dy$ og på samme vis fås

$\beta \int_a^b \frac{f(\beta x)}{\beta x}\,dx= \int_{\beta a}^{\beta b}\frac{f(y)}{y}dy$

Dersom $\alpha=\beta$ er ligningen trivielt oppfylt. WLOG anta derfor $\alpha < \beta$. For ekstreme nok verdier av $a,b$ vil da $\alpha a < \beta a < \alpha b < \beta b$. Det gjør at vi får et overlappende område mellom $x=\beta a$ og $x=\alpha b$ som forsvinner fra differansen mellom integralene, så det opprinnelige integralet forenkles til

$\int_{\alpha a}^{\beta a}\frac{f(x)}{x}dx - \int_{\alpha b}^{\beta b}\frac{f(x)}{x}dx$

La $x=ay$ i den første og $x=by$ i den andre, så vi får

$\int_{\alpha}^{\beta}\frac{f(ay)}{y}\, dy-\int_{\alpha}^{\beta}\frac{f(by)}{y}\,dy$.

Lar vi $a\to 0$ og $b\to\infty$ får vi til slutt

$\int_{\alpha}^\beta \frac{A-B}{y}\,dy=(A-B)(\log \beta-\log \alpha)$
plutarco offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 3810
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Integrasjon

Innlegg Kay » 13/10-2017 20:58

Ser bra ut dette her.
Kay offline
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 167
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Integrasjon

Innlegg plutarco » 13/10-2017 22:37

Lurer på om ikke dette problemet har vært postet her tidligere....
plutarco offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 3810
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Integrasjon

Innlegg Kay » 13/10-2017 22:59

Det kan godt hende, det sjekka jeg faktisk ikke :|
Kay offline
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 167
Registrert: 13/06-2016 18:23

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 5 gjester