Løs ulikheten

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Løs ulikheten

Innlegg ocj96 » 09/08-2017 18:12

1.) Løs ulikheten (1/x)>x

Flytter over og faktoriserer (1/x)(1-x)(1+x)>0

Av fortegnsskjema får jeg <<-,-1> U <0,1> men svaret skal være -1<x<1 ?
ocj96 offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 14
Registrert: 09/08-2017 18:07

Re: Løs ulikheten

Innlegg Janhaa » 09/08-2017 18:27

La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7260
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Løs ulikheten

Innlegg mattemarkus » 09/08-2017 18:33

[tex]\frac{1}{x} > x \enspace \Rightarrow \enspace \frac{1}{x} - \frac{x^2}{x} > 0[/tex]

[tex]\frac{1-x^2}{x} > 0 \enspace \Rightarrow \enspace \frac{(1-x)(1+x)}{x} > 0[/tex]

Fortegnsskjema gir videre:

Bilde

Vi ser altså at uttrykket er større enn 0, dvs. positivt i intervallet [tex]\left \langle \leftarrow, -1 \right \rangle \cup \left \langle 0,1 \right \rangle[/tex]. Dvs. du har altså korrekt svar fra fortegnsskjema. Wolfram er også enig.. Hvis jeg har oversett noe må jeg gjerne bli rettet opp.
mattemarkus offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 130
Registrert: 20/09-2016 12:48

Re: Løs ulikheten

Innlegg ocj96 » 09/08-2017 19:56

Tusen takk for hjelpa!

Et annet spørsmål: Hvordan kan jeg skrive Log(1/3)3^2x enklere? (1/3) er basen til logaritmen. Hadde vært kjekt om du kunne forklart dette med baseer :)
ocj96 offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 14
Registrert: 09/08-2017 18:07

Re: Løs ulikheten

Innlegg Janhaa » 09/08-2017 20:11

ocj96 skrev:Tusen takk for hjelpa!
Et annet spørsmål: Hvordan kan jeg skrive Log(1/3)3^2x enklere? (1/3) er basen til logaritmen. Hadde vært kjekt om du kunne forklart dette med baseer :)

mener du:

[tex]\log_{1/3}(3)^{2x}=2x(\lg(3)/\lg(1/3)) = -2x[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7260
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Løs ulikheten

Innlegg ocj96 » 09/08-2017 20:17

Janhaa skrev:
ocj96 skrev:Tusen takk for hjelpa!
Et annet spørsmål: Hvordan kan jeg skrive Log(1/3)3^2x enklere? (1/3) er basen til logaritmen. Hadde vært kjekt om du kunne forklart dette med baseer :)

mener du:

[tex]\log_{1/3}(3)^{2x}=2x(\lg(3)/\lg(1/3)) = -2x[/tex]


Ja nettopp! Skjønner ut i fra regel at du kan skrive 2x(log(1/3)3, men hvordan får du dette til å bli -2x? Er det en regel jeg kan bruke her?
ocj96 offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 14
Registrert: 09/08-2017 18:07

Re: Løs ulikheten

Innlegg mattemarkus » 09/08-2017 20:43

ocj96 skrev:
Janhaa skrev:
ocj96 skrev:Tusen takk for hjelpa!
Et annet spørsmål: Hvordan kan jeg skrive Log(1/3)3^2x enklere? (1/3) er basen til logaritmen. Hadde vært kjekt om du kunne forklart dette med baseer :)

mener du:

[tex]\log_{1/3}(3)^{2x}=2x(\frac{\lg(3)}{\lg(1/3)}) = -2x[/tex]


Ja nettopp! Skjønner ut i fra regel at du kan skrive 2x(log(1/3)3, men hvordan får du dette til å bli -2x? Er det en regel jeg kan bruke her?


Tredje logaritmesetning sier at [tex]\lg \left ({\frac{a}{b}} \right)= \lg{(a)}- \lg{(b)}[/tex]
Dermed kan vi skrive om [tex]2x \left(\frac{\lg(3)}{\lg(\frac{1}{3})} \right)[/tex] til [tex]2x \left(\frac{\lg(3)}{\lg(1) - \lg(3)} \right)[/tex]

[tex]\lg(1) = 0[/tex], så vi kan derfor korte ned til $2x \left(\frac{\lg(3)}{- \lg(3)} \right)$.

Videre har vi at [tex]2x \left (\frac{\lg(3)}{-\lg(3)} \right ) = 2x \left ( -1 \cdot \frac{\lg(3)}{\lg(3)} \right ) = 2x \cdot -1 \cdot 1 = -2x[/tex]

Gi gjerne lyd hvis du fortsatt lurer på noe mer. Vi vil gjerne hjelpe deg!
mattemarkus offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 130
Registrert: 20/09-2016 12:48

Re: Løs ulikheten

Innlegg ocj96 » 09/08-2017 21:55

Tredje logaritmesetning sier at [tex]\lg \left ({\frac{a}{b}} \right)= \lg{(a)}- \lg{(b)}[/tex]
Dermed kan vi skrive om [tex]2x \left(\frac{\lg(3)}{\lg(\frac{1}{3})} \right)[/tex] til [tex]2x \left(\frac{\lg(3)}{\lg(1) - \lg(3)} \right)[/tex]

[tex]\lg(1) = 0[/tex], så vi kan derfor korte ned til $2x \left(\frac{\lg(3)}{- \lg(3)} \right)$.

Videre har vi at [tex]2x \left (\frac{\lg(3)}{-\lg(3)} \right ) = 2x \left ( -1 \cdot \frac{\lg(3)}{\lg(3)} \right ) = 2x \cdot -1 \cdot 1 = -2x[/tex]

Gi gjerne lyd hvis du fortsatt lurer på noe mer. Vi vil gjerne hjelpe deg![/quote]

Takk igjen! :)

Jeg har denne log4(x+4)-2log4(x+1)=1/2

Kanskje? -2log4(x+4)/(x+1)=1 (Vet ikke helt hvordan jeg går frem her :? )
ocj96 offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 14
Registrert: 09/08-2017 18:07

Re: Løs ulikheten

Innlegg mattemarkus » 09/08-2017 23:39

Jeg har denne log4(x+4)-2log4(x+1)=1/2

Kanskje? -2log4(x+4)/(x+1)=1 (Vet ikke helt hvordan jeg går frem her :? )


I og med at uttrykket inneholder en venstre- og høyreside (av likhetstegnet), er det en likning vi skal prøve å løse, der x er variabelen.

Igjen, tredje logaritmesetning sier at [tex]\log \left (\frac{a}{b} \right ) = \log(a) - \log(b)[/tex]. Denne likheten vil også gjelde andre veien; altså om vi har et uttrykk $ \log(a) - \log(b) $, kan vi skrive om det til $ \log \left (\frac{a}{b} \right ) $. Alt dette gitt at logaritmene har samme grunntall, noe de har i ditt tilfelle.

Første logaritmesetning sier at [tex]\log \left (a^x \right ) = x \cdot \log(a)[/tex], og i likhet med tredje logaritmesetning kan vi også tenke motsatt vei om denne.

Med dette i bakhodet kan vi skrive om $ \log_{4}(x+4) - 2\log_{4}(x+1) $ til $ \log_{4} \left( \frac{x+4}{(x+1)^2 } \right) $.

Vi har nå uttrykket $ \log_{4} \left( \frac{x+4}{(x+1)^2 } \right) = \frac{1}{2} $

Videre lar vi venstre- og høyresiden være eksponenter i en potens med grunntallet i logaritmen som grunntallet i potensen.

$ \log_{4} \left( \frac{x+4}{(x+1)^2 } \right) = \frac{1}{2} \enspace \Rightarrow \enspace 4^{\log_{4} \left( \frac{x+4}{(x+1)^2 } \right)} = 4^{\frac{1}{2}} $

Vi har en annen regler for logaritmer som sier at [tex]a^{\log_{a}(b)} = b[/tex]. Derfor vil altså venstresiden av likhetstegnet tilsvare det mellom parentesene. Vi løser nå likningen;

$ \frac{x+4}{(x+1)^2 } = \sqrt{4} \enspace \Rightarrow \enspace \frac{x+4}{(x+1)^2 } = 2 \enspace \Rightarrow \enspace x+4 = 2(x+1)^2 \enspace \Rightarrow \enspace x+4 = 2x^2+4x+2$

Nå er resten standard prosedyre;

1. Flytt over slik at høyresiden av uttrykket er lik null; $ -2x^2-3x+2=0 $
2. Løs likningen med abc-formelen.

Svaret ligger i spoileren.

[+] Skjult tekst
$ -2x^2-3x+2=0 $
abc-formelen gir $-2$ og $ \frac{1}{2} $ som løsninger. Logaritmefunksjonen er ikke definert for negative tall, og vi må derfor forkaste $ x = -2$ som løsning. Ser du hvorfor?
Løsningen er altså [tex]x=\frac{1}{2}[/tex]
mattemarkus offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 130
Registrert: 20/09-2016 12:48

Re: Løs ulikheten

Innlegg ocj96 » 10/08-2017 16:14

Takk for svar! Skjønte hvorfor den ikke kunne være negativ i oppgaven over.

Sitter med dette uttrykket. Vis at: (1-cos(x))/(1+cos(x))=tan^2(x/2)

Jeg vet at dette stemmer, men hvordan går jeg fram?
ocj96 offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 14
Registrert: 09/08-2017 18:07

Re: Løs ulikheten

Innlegg Janhaa » 10/08-2017 16:34

ocj96 skrev:Takk for svar! Skjønte hvorfor den ikke kunne være negativ i oppgaven over.
Sitter med dette uttrykket. Vis at: (1-cos(x))/(1+cos(x))=tan^2(x/2)
Jeg vet at dette stemmer, men hvordan går jeg fram?


du burde starte ny tråd, uansett se løsninga i linken under:

https://www.symbolab.com/solver/trigonometric-identity-calculator/Prove%20(1-cosx)%2F(1%2Bcosx)%3Dtan%5E%7B2%7D%20(x%2F2)
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7260
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Løs ulikheten

Innlegg ocj96 » 10/08-2017 17:17

Janhaa skrev:
ocj96 skrev:Takk for svar! Skjønte hvorfor den ikke kunne være negativ i oppgaven over.
Sitter med dette uttrykket. Vis at: (1-cos(x))/(1+cos(x))=tan^2(x/2)
Jeg vet at dette stemmer, men hvordan går jeg fram?


du burde starte ny tråd, uansett se løsninga i linken under:

https://www.symbolab.com/solver/trigonometric-identity-calculator/Prove%20(1-cosx)%2F(1%2Bcosx)%3Dtan%5E%7B2%7D%20(x%2F2)


Jeg skjønner fremgangsmåten, men hvordan kommer man frem til dette: sin^2(x) = 0.5(1-cos(2x)) eller cos^2(x)=0.5(1+cos(2x))
ocj96 offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 14
Registrert: 09/08-2017 18:07

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 21 gjester