Hjelp med heldagsprøve

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Hjelp med heldagsprøve

Innlegg HanFyren » 21/04-2017 12:00

Om en uendelig geometrisk rekke vet vi at:

Summen er 8
Summen av de tre første leddene er 7

a) Sett opp et ligningssystem som uttrykker opplysningene ovenfor
b) Bestem kvotienten k og det første leddet a1 i rekken


Tusen takk for svar
HanFyren offline

Re: Hjelp med heldagsprøve

Innlegg DennisChristensen » 21/04-2017 12:55

HanFyren skrev:Om en uendelig geometrisk rekke vet vi at:

Summen er 8
Summen av de tre første leddene er 7

a) Sett opp et ligningssystem som uttrykker opplysningene ovenfor
b) Bestem kvotienten k og det første leddet a1 i rekken


Tusen takk for svar


Ledd nr. $n$ i en uendelig geometrisk rekke kan skrives på formen $a_1k^{n-1}$, der $|k| < 1$. Summen $S$ av rekken er da gitt ved $$S = \frac{a_1}{1-k}.$$

(a) $$\begin{cases} \frac{a_1}{1-k} = 8 \\ a_1 + a_1k + a_1k^2 = 7\end{cases}$$

(b) Fra annen likning ovenfor ser vi at $a_1 = \frac{7}{1 + k + k^2}$. Substituerer vi dette inn i første likning ovenfor får vi at $$\frac{7}{(1-k)(1 + k + k^2)} = 8$$ $$8(1+k+k^2)(1-k) = 8(1 - k^3) = 7$$ $$8k^3- 1 = 0$$ $$(2k - 1)(4k^2 + 2k + 1) = 0.$$ Ettersom $4k^2 + 2k + 1 > 0$ for alle $k \in \mathbb{R}$ må vi ha at $k = \frac12$. Dermed får vi at $$a_1 = \frac{7}{1 + \frac12 + \left(\frac12\right)^2} = \frac{7}{\left(\frac74\right)} = 4.$$
DennisChristensen offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 445
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google Adsense [Bot] og 36 gjester