Oblig mat1110

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Oblig mat1110

Innlegg Gjest102 » 20/04-2017 16:43

Hei!

Jeg sliter med en oblig i Mat1110. Flere som jobber med samme oblig?

Noen som har forslag til løsning på følgende oppgave: Bilde
Gjest102 offline

Re: Oblig mat1110

Innlegg DennisChristensen » 20/04-2017 19:12

Gjest102 skrev:Hei!

Jeg sliter med en oblig i Mat1110. Flere som jobber med samme oblig?

Noen som har forslag til løsning på følgende oppgave: Bilde


(a) $$A_5 = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.$$
Ved å skrive $$A_n = \left[\mathbf{a_1},\dots,\mathbf{a_n}\right],$$ der $\mathbf{a_1},\dots, \mathbf{a_n}$ er kolonnene til $A_n$, ser vi at $$\mathbf{a_1} + \dots + \mathbf{a_n} = \mathbf{0},$$ så kolonnene til $A_n$ er lineært avhengige. Dermed har vi at $\det A = 0$, som skjer hvis og bare hvis $A$ har $0$ som egenverdi.

Fra likningen over ser vi at $$\mathbf{v^0} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}$$ duger som egenvektor.


(b) Vi har at $$A_n \mathbf{v^k} = \begin{pmatrix} w_1^k \\ w_2^k \\ \vdots \\ w_n^k\end{pmatrix},$$ der $$w_i^k = \begin{cases} -2v_1^k + v_2^k + v_n^k & \text{ hvis }i=1 \\ v_{i-1}^k - 2v_i^k + v_{i+1}^k & \text{ hvis }1 < i < n \\ v_1^k + v_{n-1}^k -2v_n^k & \text{ hvis }i = n\end{cases}.$$ For $1 < i < n$ ser vi at $$\begin{align*} w_i^k & = v_{i-1}^k - 2 v_i^k + v_{i+1}^k \\ & = \sqrt{2}\sin\left(\frac{2\pi (i-1)k}{n} + \frac{\pi}{4}\right) - 2\sqrt{2}\sin\left(\frac{2\pi i k}{n} + \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\sin\left(\frac{2\pi (i+1)k}{n} + \frac{\pi}{4}\right) \\ & = \sqrt{2}\left[\sin\left(\frac{2\pi i k}{n} + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) - 2\sin\left(\frac{2\pi i k}{n} + \frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{2\pi i k}{n} + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\right] \\ & = 2\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) - 1\right]\sin\left(\frac{2\pi i k}{n} + \frac{\pi}{4}\right) \\ & = 2\left[\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) - 1\right]v_i^k. \end{align*}.$$

På likt vis kan man vise at $$w_1^k = 2\left[\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) - 1\right]v_1^k$$ og at $$w_n^k = 2\left[\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) - 1\right]v_n^k,$$ som bekrefter at $\mathbf{v^k}$ er en egenvektor til $A_n$, med $2\left[\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) - 1\right]$ som korresponderende egenverdi.
DennisChristensen offline
Cauchy
Cauchy
Innlegg: 229
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Oblig mat1110

Innlegg Gjest102 » 22/04-2017 19:12

Tusen takk!

Har du forslag til løsning på denne også Dennis?
Bilde
Gjest102 offline

Re: Oblig mat1110

Innlegg DennisChristensen » 22/04-2017 20:14

Gjest102 skrev:Tusen takk!

Har du forslag til løsning på denne også Dennis?
Bilde


Det er jo meningen at denne innleveringen skal gjøres på egenhånd, så jeg synes det blir feil å gi flere komplette løsningsforslag. Ett hint: bruk av Lagrange-multiplikator. Når du har prøvd selv kan du eventuelt stille oppfølgingsspørsmål hvis du står fast senere.
DennisChristensen offline
Cauchy
Cauchy
Innlegg: 229
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Oblig mat1110

Innlegg Gjest » 23/04-2017 03:15

Jeg kan hjelpe deg litt i gang selv om jeg er enig med Dennis her. Skulle ikke forundret meg om det var samme person som tilfeldigvis sto bak den samme tråden om oppgave 1.

Du ønsker å sette opp et ligningssystem. Først må du finne $\bigtriangledown f$ og $\bigtriangledown g$ hvor g er funksjonen gitt av bibetingelsen. For å finne dette kan du bruke $\bigtriangledown f(x,y,z) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}$ (samme for g)

Nå kan du bruke at $\bigtriangledown f = \lambda \bigtriangledown g$ til å sette opp 3 ligninger. Du har derimot 4 ukjente, så bruk bibetingelsen for fjerde ligning.

Nå er det bare å trikse og leke seg frem til rette verdier. Dette kan ta litt tid, og det kan hende du må gjøre noen lure overganger eller logiske resonnement. Husk å sjekke at det ikke eksisterer flere løsninger enn den du finner.
Gjest offline

Re: Oblig mat1110

Innlegg Gjest102 » 24/04-2017 13:05

Hei!

Kommer frem til følgende likninger:
(1) 1=λ2x^2
(2) 1=λ2y^2
(3) 3=λ2z^2
(4) = x^2+y^2+z^2=5r^2

Har forsøkt å trikse litt og lurer på om x=1, y=1 og z=sqrt(3) muligens er en løsning?
Gjest102 offline

Re: Oblig mat1110

Innlegg DennisChristensen » 25/04-2017 21:50

Gjest102 skrev:Hei!

Kommer frem til følgende likninger:
(1) 1=λ2x^2
(2) 1=λ2y^2
(3) 3=λ2z^2
(4) = x^2+y^2+z^2=5r^2

Har forsøkt å trikse litt og lurer på om x=1, y=1 og z=sqrt(3) muligens er en løsning?


Nei, dette stemmer ikke. Merk deg at $x^2 + y^2 + z^2 = 5r^2$ ikke nødvendigvis er oppfylt. Du er riktignok veldig nærme det riktige svaret. Gjør du det riktig skal du få $x = y = r$ og $z = \sqrt{3}r$.
DennisChristensen offline
Cauchy
Cauchy
Innlegg: 229
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot] og 8 gjester