Lineær algebra - Enhetsnormalen

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Lineær algebra - Enhetsnormalen

Innlegg Gjest » 17/02-2017 14:25

Hei,

Jeg sitter fast på en oppgave og klarer ikke å finne ut hva enhetsnormalen er. Så jeg lurer på om noen vet hva enhetsnormalen er, hvordan man finner denne generelt og med negativ andrekomponent til en kurve?

Selve oppgaven ser slik ut:

En disk med radius ρ ≤ 1/2 ruller på parabelen y = x^2. La senteret i disken ha koordinater (X, Y ).

a) Finn enhetsnormalen med negativ andrekomponent til kurven s(x) = (x, x^2). Nedenfor kaller
vi denne for n(x).
Gjest offline

Re: Lineær algebra - Enhetsnormalen

Innlegg DennisChristensen » 17/02-2017 15:30

Gjest skrev:Hei,

Jeg sitter fast på en oppgave og klarer ikke å finne ut hva enhetsnormalen er. Så jeg lurer på om noen vet hva enhetsnormalen er, hvordan man finner denne generelt og med negativ andrekomponent til en kurve?

Selve oppgaven ser slik ut:

En disk med radius ρ ≤ 1/2 ruller på parabelen y = x^2. La senteret i disken ha koordinater (X, Y ).

a) Finn enhetsnormalen med negativ andrekomponent til kurven s(x) = (x, x^2). Nedenfor kaller
vi denne for n(x).


Enhetsnormalen er en vektor med lengde $1$ som står normal på en gitt kurve\flate. Om eksempelvis kurven vi jobber med er $x$-aksen, gitt ved $y=0$, så får vi enhetsnormalene $(0,1)$ og $(0,-1)$. Merk deg at vi kan velge om normalen skal peke "opp" eller "ned" (andre ganger "innover" eller "utover"), så vi må i dette tilfellet spesifisere fortegnet til andrekomponenten til normalen. Derfor er dette også gjort i oppgaven din.

Vi finner kurvens normalvektor:

Metode 1: En normalvektor vil alltid stå vinkelrett på tangentvektoren $\vec{t}$. Vi deriverer for å finne tangentvektoren:
$$\vec{t} = (1,2x).$$

Fra dette ser vi at $\lambda(2x,-1)$ vil være en normalvektor. for $\lambda \neq 0$, ettersom $(1,2x) \cdot \lambda (2x ,-1) = \lambda(2x - 2x) = 0$, så $\lambda(2x,-1)$ står normal på tangentvektoren vår $\vec{t}$. Vi ønsker negativ andrekomponent, så vi må velge $\lambda > 0.$ For å finne enhetsnormalen $\vec{n}$ normaliserer vi:

$$\vec{n} = \frac{1}{|\lambda(2x,-1)|}\lambda(2x,-1) = \frac{1}{\sqrt{4x^2 + 1}}(2x,-1)$$

Metode 2: (hvis du har lært om gradientvektoren ennå):

Kurven kan beskrives ved likningen
$$p(x,y) = y - x^2 = 0.$$

Vi vet at $\pm\nabla p$ står normal på kurven, så en normalvektor er gitt ved
$$\pm\nabla p = \pm(-2x,1).$$
Vi reskalerer nå denne normalen slik at vi får negativ andrekomponent og lengde $1$ liksom i metoden ovenfor.
DennisChristensen offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 118
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Lineær algebra - Enhetsnormalen

Innlegg danode » 20/02-2017 11:30

Hei gjest!

Hvordan kom du frem til svarene i oppgave 1? Regner med at du også jobber med oblig i mat1110?
danode offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 6
Registrert: 19/12-2012 13:36

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 4 gjester