Tensor-identitet

[Kake med tau]

Har lekt litt rundt, og prøvd å vise [tex]\frac{A}{I}\otimes_{A}\frac{A}{J}\cong \frac{A}{I+J}[/tex], men treffer veggen et par ganger. Har prøvd to forskjellige metoder:

• Vise at [tex]\phi: A\rightarrow \frac{A}{I}\otimes_{A}\frac{A}{J}[/tex] er surjektiv, og [tex]\ker(\phi)=I+J[/tex]. Ser ikke noen fin formell måte å argumentere for at [tex]a\mapsto (a+I)\otimes_{A} (a+J)[/tex] blir [tex]0[/tex] for [tex]a\in I+J[/tex].
• Bruke den eksakte følgen [tex]0\rightarrow I\rightarrow A\rightarrow \frac{A}{I}\rightarrow 0[/tex], og ganger denne med
  [tex]\_ \otimes_{A}\frac{A}{J}[/tex] slik at jeg får [tex]0\rightarrow I\otimes_{A}\frac{A}{J}\rightarrow A\otimes_{A}\frac{A}{J}\rightarrow \frac{A}{I}\otimes_{A}\frac{A}{J}\rightarrow 0[/tex]
  Og har da [tex]\frac{A}{I}\otimes_{A}\frac{A}{J}\cong\frac{\frac{A}{J}}{I\otimes_{A}\frac{A}{J}}\cong\frac{\frac{A}{J}}{\frac{AI}{J}}[/tex]

, er også usikker på om jeg har gjort riktig med [tex]I\otimes_{A}\frac{A}{J}[/tex].

[Gustav]

Har lekt litt rundt, og prøvd å vise [tex]\frac{A}{I}\otimes_{A}\frac{A}{J}\cong \frac{A}{I+J}[/tex], men treffer veggen et par ganger. Har prøvd to forskjellige metoder:
Vise at [tex]\phi: A\rightarrow \frac{A}{I}\otimes_{A}\frac{A}{J}[/tex] er surjektiv, og [tex]\ker(\phi)=I+J[/tex]. Ser ikke noen fin formell måte å argumentere for at [tex]a\mapsto (a+I)\otimes_{A} (a+J)[/tex] blir [tex]0[/tex] for [tex]a\in I+J[/tex].

La $i\in I$ og $j\in J$. Da er $\phi(i+j)=(i+j+I)\otimes_A (i+j+J)=(j+I)\otimes_A (i+J)=(j(1+I))\otimes_A (i+J)=(1+I)\otimes_A (j(i+J))=(1+I)\otimes_A (ij+J)=(1+I)\otimes_A (0+J)=I\otimes_A J$, som er nullelementet i tensorproduktet.

Edit: Ser ikke umiddelbart hvordan du skal vise at $\phi$ er surjektiv her. (og dette viser vel heller ikke at kjernen kun består av elementer $i+j\in I+J$)Det er vel lettere å gjøre det motsatt vei: La $\phi:\frac{A}{I}\otimes_{A}\frac{A}{J}\to \frac{A}{I+J}$ være en A-modulhomomorfi definert ved at $\phi((a+I)\otimes_A (b+J))=ab+(I+J)$. (sjekk at $\phi$ dermed er veldefinert) Da er det lett å vise at $ker(\phi)=I\otimes_A J$ og $im(\phi)=\frac{A}{I+J}$.

Edit2: Rettet opp noe i definisjonen av $\phi$.

[Brahmagupta]

Den første avbildningen er såvidt jeg kan se ikke en homomorfi; den er ikke additiv.
Du må heller prøve med avbildningen $a\to (a+I)\otimes (1+J)=(1+I)\otimes (a+J)$.
Det er ikke så vanskelig å vise at denne forsvinner på $I+J$ slik at vi får indusert en
avbildning $A/(I+J) \rightarrow A/I\otimes_A A/J$. Den letteste måten å vise at
dette er en isomorfi er å finne en invers (det er ingen greit måte å vise at denne er
injektiv på direkte). Den bilineære avbildningen $A/I\times_A A/J \rightarrow A/(I+J)$
gitt ved $(a+I,b+J)\to ab + (I+J)$ induserer en homomorfi
$A/I\otimes_A A/J \rightarrow A/(I+J)$ gitt ved $(a+I)\otimes (b+J)\to ab + (I+J)$.
Det er nå et enkelt regnestykke å vise at disse to homomorfiene er inverser.

Alternativt kan man vise direkte at den andre homomorfien er en isomorfi. I begge
tilfellene er det universalegenskapen til tensorproduktet som er nøkkelingrediensen
i beviset.

Den andre metoden du presenterer vil føre fram, men du må være litt forsiktig.
Sekvensen du oppnår etter å ha tatt tensorproduktet vil kun være høyre eksakt:
\[ I\otimes_A A/J \to A \otimes_A A/J \to A/I \otimes A/J \to 0 \]
Vi benytter så isomorfien $A\otimes_A A/J \cong A/J$ gitt ved $a\otimes (b+J)\to ab+J$,
slik at vi får den eksakte sekvensen
\[I\otimes_A A/J \to A/J \to A/I\otimes_A A/J \to 0 \]
Her er den første avbildningen gitt ved $a\otimes (b+J)\to ab+J$ og den andre ved
$a+J \to (1+I)\otimes (a+J)$. Siden sekvensen er eksakt holder det nå å vise at
$\operatorname{Im}(I\otimes_A A/J \to A/J)=(I+J)/J$ slik at
\[A/I\otimes_A A/J \cong (A/J)/((I+J)/J) \cong A/(I+J) \]

Denne metoden kan mer generelt brukes til å vise at for en $A$-modul $M$ og et
ideal $I\subset A$ så har vi en isomorfi $A/I \otimes_A M \cong M/IM$ hvor
$IM\subset M$ er undermodulen generert av $\{am : a\in I \mbox{ og } m\in M\}$.

[Gustav]

Er det ikke nok å si at den induserte avbildningen tar $(a+I)\otimes(b+J)=(1+I)\otimes (ab+J)\mapsto ab+(I+J)$, så den er åpenbart surjektiv. Hvis $ab+(I+J)=0$ må $ab=i+j$ for $i\in I, j\in J$, og $(1+I)\otimes (i+j+J)=(1+I)\otimes (i+J)=(1+I)\otimes i(1+J)=i(1+I)\otimes (1+J)=(0+I)\otimes (1+J)=0$ fra bilineariteten til den kanoniske avbildningen. Dermed er den induserte avbildningen injektiv.

[Brahmagupta]

Er det ikke nok å si at den induserte avbildningen tar $(a+I)\otimes(b+J)=(1+I)\otimes (ab+J)\mapsto ab+(I+J)$, så den er åpenbart surjektiv. Hvis $ab+(I+J)=0$ må $ab=i+j$ for $i\in I, j\in J$, og $(1+I)\otimes (i+j+J)=(1+I)\otimes (i+J)=(1+I)\otimes i(1+J)=i(1+I)\otimes (1+J)=(0+I)\otimes (1+J)=0$ fra bilineariteten til den kanoniske avbildningen. Dermed er den induserte avbildningen injektiv.

Jo, helt enig. Det forrige innlegget var egentlig et forsøk på å utvide trådstarters idèer til et fullstendig bevis,
men det er nok det som er den enkleste metoden.

[Gustav]

Flott Du ga forresten et veldig godt svar på spørsmålet til TS!