Hvis du bruker hintet til Aleks855 får du en separabel differensialligning:
[tex]x(t) = t\cdot u(t) \ \Rightarrow \ \dot{x}(t) \equiv \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = u(t)+t\dot{u}(t)[/tex], sett inn i diff.ligning.:
[tex]u(t)+t\dot{u} = 1+3u+u^2 \ \Rightarrow \ t\dot{u} = 1+2u+u^2[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d}u}{1+2u+u^2} = \frac{\mathrm{d}u}{(u+1)^2} = \frac{\mathrm{d}t}{t}[/tex]
Differensialligningene
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
x(t)= t * u(t)Aleks855 skrev:Ville kanskje bare løst den som en homogen likning, med $x(t) = t\cdot u(t)$
Hva er u her? er likningen separabel?
Zell har utdypt mer om fremgangsmåten jeg nevnte.
u(t) er bare en selvdefinert funksjon vi bruker for dette formålet.
u(t) er bare en selvdefinert funksjon vi bruker for dette formålet.
-
Økonomistudenten
Men dette er ikke en funksjon av x? Oppgaven ser slik ut:zell skrev:4. Denne er separabel:
[tex]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \alpha y(x)-\beta y^4(x)[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d}y}{\alpha y-\beta y^4} = \mathrm{d}x[/tex]
Jeg løste integralet vha. substitusjonen [tex]u = \alpha-\beta y^3[/tex]
Løs følgende likning:
[tex]y'=\alpha y-\beta y^{4}[/tex]
-
Økonomistudenten
Aha, y er en gitt funksjon av X selv om det ikke er uttrykt eksplisitt?Økonomistudenten skrev:Men dette er ikke en funksjon av x? Oppgaven ser slik ut:zell skrev:4. Denne er separabel:
[tex]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \alpha y(x)-\beta y^4(x)[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d}y}{\alpha y-\beta y^4} = \mathrm{d}x[/tex]
Jeg løste integralet vha. substitusjonen [tex]u = \alpha-\beta y^3[/tex]
Løs følgende likning:
[tex]y'=\alpha y-\beta y^{4}[/tex]
-
Gjest
Kan du forklare videre hvordan du løste integralet?zell skrev:4. Denne er separabel:
[tex]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \alpha y(x)-\beta y^4(x)[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d}y}{\alpha y-\beta y^4} = \mathrm{d}x[/tex]
Jeg løste integralet vha. substitusjonen [tex]u = \alpha-\beta y^3[/tex]
[tex]\int\frac{\mathrm{d}y}{\alpha y-\beta y^4} = \int\frac{\mathrm{d}y}{y(\alpha-\beta y^3)}[/tex]
[tex]u = \alpha-\beta y^3 \ \Rightarrow \ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = -3\beta y^2 \ \Rightarrow \ \mathrm{d}y = \frac{\mathrm{d}u}{-3\beta y^2}[/tex]
[tex]-\frac{1}{3}\int\frac{\mathrm{d}u}{\beta y^3u} = -\frac{1}{3}\int\frac{\mathrm{d}u}{(\alpha-u)u}[/tex]
[tex]\frac{1}{(\alpha-u)u} = \frac{A}{\alpha-u}+\frac{B}u \ \Rightarrow \ Au+B(\alpha-u) = 1[/tex]
Gir: [tex]A=B = \frac{1}{\alpha}[/tex]
[tex]-\frac{1}{3}\int\left(\frac{1}{\alpha(\alpha-u)}+\frac{1}{\alpha u}\right)\mathrm{d}u = -\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{\alpha}\ln{|\alpha-u|}+\frac{1}{\alpha}\ln{|u|}\right) = \frac{1}{3\alpha}\ln{\left|\frac{\alpha-u}{u}\right|}[/tex]
[tex]\frac{1}{3\alpha}\ln{\left|\frac{\alpha-u}{u}\right|} = \frac{1}{3\alpha}\ln{\left|\frac{\beta y^3}{\alpha-\beta y^3}\right|}[/tex]
[tex]u = \alpha-\beta y^3 \ \Rightarrow \ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = -3\beta y^2 \ \Rightarrow \ \mathrm{d}y = \frac{\mathrm{d}u}{-3\beta y^2}[/tex]
[tex]-\frac{1}{3}\int\frac{\mathrm{d}u}{\beta y^3u} = -\frac{1}{3}\int\frac{\mathrm{d}u}{(\alpha-u)u}[/tex]
[tex]\frac{1}{(\alpha-u)u} = \frac{A}{\alpha-u}+\frac{B}u \ \Rightarrow \ Au+B(\alpha-u) = 1[/tex]
Gir: [tex]A=B = \frac{1}{\alpha}[/tex]
[tex]-\frac{1}{3}\int\left(\frac{1}{\alpha(\alpha-u)}+\frac{1}{\alpha u}\right)\mathrm{d}u = -\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{\alpha}\ln{|\alpha-u|}+\frac{1}{\alpha}\ln{|u|}\right) = \frac{1}{3\alpha}\ln{\left|\frac{\alpha-u}{u}\right|}[/tex]
[tex]\frac{1}{3\alpha}\ln{\left|\frac{\alpha-u}{u}\right|} = \frac{1}{3\alpha}\ln{\left|\frac{\beta y^3}{\alpha-\beta y^3}\right|}[/tex]