Algebra

[stensrud]

Hvis $P$ og $Q$ er polynomer med heltallkoeffisienter slik at $P(Q(X))=Q(P(X))$, vis at $P(P(x))-Q(Q(x))$ er delelig med $P(x)-Q(x)$.

[Gjest22]

Kan du legge ut løsningen på denne oppgaven Stensrud?

[stensrud]

Hvis $f$ er et polynom med heltallskoeffisienter så vet vi at $a-b\mid f(a)-f(b)$ for alle par av heltall $a$ og $b$. Spesielt vil $P(x)-Q(x)$ dele $f(P(x))-f(Q(x))$, og setter vi $f(x)=P(x)+Q(x)$ og regner modulo $P(x)-Q(x)$ med betingelsene vi er gitt får vi
\[ 0\equiv f(P(x))-f(Q(x))=P(P(x))-Q(P(x))+P(Q(x))-Q(Q(x))\equiv P(P(x))-Q(Q(x)),\]
som ønsket.