Faktoriseringsoppgaver

[Drezky]

Slenger ned noen relativ enkle faktoriseringsoppgaver nå som sommeren har startet



Faktoriser:

1 [tex]x^3-8=0[/tex]
2 [tex]x^4+6x^3+11x^2+6x+1[/tex]
3 [tex]x^4+4y^4[/tex]
4 [tex](1-2x-x^2)(1-2x+3x^2)+4x^4[/tex]
5 [tex]5x^2-34x+24[/tex]
6 [tex](x+y+z)^2+(x+y-z)^2+(x-y+z)^2+(y-x+z)^2[/tex]

God Sommer!

[pit]

Jeg har en faktoriserings oppgave som egentlig er ganske lett.
[tex]x^{11} + y^{11}[/tex]

[pit]

Tror, det er best jeg legger inn et hint:

1. 11 er et oddetall
2. [tex]e^{\frac{2\pi i}{n}}[/tex]
3. Fermats likning sier [tex]x^n + y^n = z^n[/tex] kan faktoriseres på en spessiell måte når n er odde

[pit]

3. Et theorem sier at Fermats likning
x^n+y^n=z^n kan faktoriseres på en spessiell måte når n er odde

[Drezky]

Jeg har en faktoriserings oppgave som egentlig er ganske lett.
[tex]x^{11} + y^{11}[/tex]

[tex]x^2-y^2=(x+y)(x-y)[/tex]
[tex]x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)[/tex]
[tex]x^4-y^4=(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3)=(x-y)(x^2(x+y)+y^2(x+y))=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)[/tex]

Generelt:
[tex]x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+...+xy^{n-2}+y^{n-1})[/tex]

ettersom [tex]p(x)=x^n-a^n \mid (x-a)[/tex]

Polynomdivisjon gir oss : [tex]x^{n-1}+ax^{n-2}+...+a^{n-1}[/tex]

Dette gir oss at: [tex]x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+...+a^{n-1})[/tex]

Dette kan videre bevises ved induksjon.
Så

[tex]x^{11}-y^{11}=(x - y) (x^{10}+ x^9 y + x^8 y^2 + x^7 y^3 + x^6 y^4 + x^5 y^5 + x^4 y^6 + x^3 y^7 + x^2 y^8 + x y^9+ y^{10})[/tex]




Men ikke legg ut mer oppgaver før noen ev. løser mine

[pit]

Riktig svar skal være:

[tex]\zeta = e^{\frac{2\pi i}{n}}[/tex]

[tex][tex][/tex](x + y)(x + \zeta y) \cdots (x + \zeta^{n-1}y)

så det gjelder bare å vise utregningen

også interessant å merke seg at:

[tex]x^n + y^n = x^n -(-y^n)[/tex]

[pit]

\zeta = e^{\frac{2\pi i}{n}}


(x + y)(x + \zeta y) \cdots (x + \zeta^{n-1}y)

interessant å nevne at:
[tex]x^n + y^n = x^n -(-y^n)[/tex]

gjelder bare å vise utregningen

[pit]

[tex]\zeta = e^{\frac{2\pi i}{n}}[/tex]

[tex](x + y)(x + \zeta y) \cdots (x + \zeta^{n-1}y)[/tex]

interessant å nevne at:

[tex]x^n + y^n = x^n -(-y^n)[/tex]

gjelder bare å vise utregningen

[pit]

og når n er odde vil: [tex]x^n + y^n = x^n -(-y)^n[/tex]

[pit]

Spoiler!!

veldig langt nede...




































































































































La [tex]f(p) = p^n -1[/tex] og la n være odde. Da vil [tex]1,\zeta , \zeta^2, \zeta^3,...,\zeta^{n-1}[/tex] være røtter
av f(p). Da må [tex]p^n - 1 = (p-1)(p-\zeta)...(p-\zeta^{n-1})[/tex]


La så [tex]p = -\frac{x}{y}[/tex]

Da må:
[tex](-\frac{x}{y})^n - 1 = (\frac{-y}{x}-1)(\frac{-y}{x}-\zeta)...(\frac{-y}{x}-\zeta^{n-1})[/tex]

Gang inn [tex](-y)^n[/tex] og få:

[tex]x^n + y^n = (x+1)(x+\zeta)...(x+\zeta^{n-1})[/tex]

[pit]

slurv i spoileren
[tex](-\frac{x}{y})^n - 1 = (\frac{-x}{y}-1)(\frac{-x}{y}-\zeta)...(\frac{-x}{y}-\zeta^{n-1})[/tex]

[pit]

skrive slurv i spoileren
[tex]x^n + y^n = (x+1)(x+y\zeta)...(x+y\zeta^{n-1})[/tex]

[pit]

obs...
[tex]x^n + y^n = (x+y)(x+y\zeta)...(x+y\zeta^{n-1})[/tex]

[flow12121]

[tex]x^3-8=0[/tex]
[tex]x=2[/tex]

Bruker polynomdivisjon:

[tex](x^3-8):(x-2)=(x^2+2x+4)\Leftrightarrow (x^3-8)=(x-2)(x^2+2x+4)[/tex]

lett!!

[Drezky]

Er ikke akkurat en veldig "spennende" måte å faktorisere på....

Merk at :

[tex]x^3-8\:\:\: \diamond[/tex]

[tex]x^3-8=0\Leftrightarrow x^3=2^3\Leftrightarrow x=2[/tex]

Generaliserer og skriver utrykket på følgende form:
[tex]x^3-8=(x-2)(x^2+bx+c)[/tex]
[tex](x-2)(x^2+bx+c)=x^3+bx^2+cx-2x^2-2bx-2c[/tex]

[tex]x^3+bx^2+cx-2x^2-2bx-2c=x^3+\left ( b-2 \right )x^2+\left ( c-2b \right )x-2x\:\:\:\spadesuit[/tex]

Sammenligner [tex]\diamond[/tex] med [tex]\spadesuit[/tex] og får at :

[tex]b-2=0\Longleftrightarrow \boxed {b=2}[/tex]
[tex]c-2b=0\Longleftrightarrow \boxed{c=2b=2*2=4}[/tex]

Voilà!

Setter verdiene tilbake i [tex](x-2)(x^2+bx+c)[/tex]
[tex](x-2)(x^2+2x+4)[/tex]
--------------------------------------////////--------------