Likning - med Taylor (liten detalj)

[Gjest]

Hei, oppgaven er som følger:

La [tex]f(x)=ln(1+x)[/tex]
Vi vil bruke et 6. grads Taylorpolynom om x= 0, [tex]P_{6}(x)[/tex], til å tilnærme funksjonen f(x) på
intervallet [tex]I=[-0.2,0.2][/tex]. Bruk Taylor's formel til å finneden minste konstanten C slik at

[tex]|f(x)-P_{6}(x)|\leq C[/tex] for alle [tex]x\epsilon I[/tex]

Dette har jeg gjort:

For å slippe å kjede dere og meg selv med å skrive opp alle de deriverte til og med 6. deriverte + f(0), f'(0) osv. så skriver jeg Taylor polynomet jeg fikk:

[tex]P_{6}(x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{6}x^6[/tex]

Feilen i Taylor polynomet er generelt gitt ved:

[tex]E_{n}(x)=f(x)-P_{_{6}}(x)[/tex]

Fra Taylor's formel følger det at:

[tex]E_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}[/tex]

[tex]E_{6}(x)=\frac{f^{(7)}(s)}{7!}x^7[/tex]

Det oppgis i oppgaven at det skal være slik at C:

[tex]|f(x)-P_{6}(x)|\leq C[/tex]

Så det må jo bety at:

[tex]|E_{n}(x)|=|f(x)-P_{6}(x)|\leq C[/tex]

Altså at:

[tex]|\frac{f^{(7)}(s)}{7!}x^7+P_{6}(x)|\leq C[/tex]

Jeg fant videre ut at:

[tex]f^{(7)}(x)=720(x+1)^{-7}[/tex]

Jeg tenkte kanskje å sette inn x = -0.2 eller x = 0.2 for å finne en største verdi, men nei, jeg vet ikke helt. Her er det stopp for meg. Kanskje jeg har gjort alt feil helt til nå.
Takk for oppmerksomheten, og hjelpen!

[Gjest]

Anyone?

[Nebuchadnezzar]

Se ut som du roter litt her? Men du er på veldig god vei!

Feilen i en taylorutvikling er gitt som

$ \hspace{1cm}
E_n = \frac{ f^{n+1}(s) }{ (n+1)! } (x-a)^{n+1}
$
Men som du så er det vanskelig å bruke denne formelen med en gang siden vi ikke vet hva $s$ er bare at den ligger mellom $x$ og $0$. Derimot kan vi bruke tilnærminger for å finne svaret
Fra det jeg skrev ovenfor blir det derfor ikke riktig å si at $f(x) = E_n$. Feilen er jo ikke lik funksjonen, men differansen som du skrev.

Det vi ønsker nå er å finne ut hvor stor $|E_n|$ kan bli for $x \in [-\varepsilon, \varepsilon]$. Siden vi rekkeutvikler omkring origo er $a=0$, og en kan sette inn verdiene våre

$ \hspace{1cm}
|E_n| \leq \left| \frac{ f^{n+1}(s) }{ (n+1)! } (x-a)^{n+1} \right| \leq \left| \frac{ M }{ (n+1)! } (x-0)^{n+1} \right|
$

Det eneste jeg har antatt her er at $\left| f^{(n+1)}(s) \right| \leq M$, hvor $M$ er et reellt tall. Dersom det ikke eksisterer en slik $M$ betyr jo det at feilen kan være uendelig.
For å finne den største verdien den deriverte kan ta, er det bare å regne ut maksimum av

$ \hspace{1cm}
\left| f^{(n+1)}(s) \right| = \left| \frac{720}{(1+s)^7} \right|
$

En måte å finne maksimum er å igjen derivere uttrykket, finne maksimumspunktene å sammenlikne med endepunktene. Heldigvis er det ikke vanskelig å se
at funksjonen er synkende (hvorfor?) slik at maks fås ved å velge $s = -0.2$. Dermed så er $\left| f^{(n+1)}(s) \right| \leq |720/(1-1/5)^7|$. Herfra er det bare å sette inn
og velge den største $x$-verdien.

Mer generelt dersom vi rekkeutvikler en funksjon omkring $a$ på intervallet $(a-r, a+r)$ så er feilen maksimalt

$ \hspace{1cm}
|R_k(x)| \leq M \frac{|x-a|^{k+1}}{(k+1)!} \leq M\frac{r^{k+1}}{(k+1)!}
$

Hvor igjen $\left| f^{(n+1)}(s) \right| \leq M$. Egentlig er det bare å bruke formelen ovenfor men er greit å forstå litt om hvorfor det fungerer og.

[Gjest]

Jeg prøvde svaret [tex]\frac{1}{437500}[/tex], men programmet godtok ikke det som riktig svar.
Jeg er også sikker på at jeg forstod det du også forklarte over.

[Nebuchadnezzar]

Du vet du faktisk må regne litt selv og? Hadde du brukt hårfint mer tid ville du sett hvor jeg gjorde en slurvefeil $720 / ( 1 - 0.2)^7 \neq 900$.
Prøv å regn ut selv å se hva du får =)

[Gjest]

Du vet du faktisk må regne litt selv og? Hadde du brukt hårfint mer tid ville du sett hvor jeg gjorde en slurvefeil $720 / ( 1 - 0.2)^7 \neq 900$.
Prøv å regn ut selv å se hva du får =)

Ja, altså, jeg spurte jo fordi jeg er veldig interessert i å forstå oppgaven, o hvor jeg feiler i tankegangen og utregningen min.
Det var langt i fra meningen å få deg eller noen andre til å gi meg alt mulig.
Når det gjelder slurvefeil, så er jeg VELDIG dårlig på å finne dem selv om jeg ser over noe nøye og opptil flere ganger. Det skjer hele tiden med meg.

Jeg føler at jeg forstår resonnementet mot slutten, med at

[tex]|f^{n+1}(s)|=|\frac{720}{(1+s)^7}|[/tex]

Jeg tror at jeg forstår også at vi velger s = -0.2

og kommer dermed videre til:

[tex]\frac{720}{(1-0.2)^7}=\frac{720}{0.8^7}=\frac{720}{(\frac{4}{5})^7}=3515625 / 1024[/tex]
Det er det jeg ender opp med nå, men det ser ikke ut til å stemme for meg.

Med mindre jeg kanskje må klinke til med en derivasjonen på funksjonen ovenfor?

[Nebuchadnezzar]

Sytes det ser helt riktig ut jeg =) Så er det bare å regne ut $M \frac{|r|^{k+1}}{(k+1)!}$, hvor $M$ er
verdien du akkuratt regnet ut. $k=6$, $r = 0.2$ osv =)