Potensrekker

[pi-ra]

Starting with the power series representation [tex]\frac{1}{1-x} = 1 + x^2 + x^3 + x^4 + . . . , (-1<x<1)[/tex] determine power series representations for the functions indicated in the exercises. On what interval is each
representation valid?

a) [tex]ln(2-x)[/tex] in power of [tex]x[/tex]

Skjønner at jeg må integrere, men får ikke riktig svar. Noen som kan hjelpe?
Takknemlig for all hjelp.

[MatIsa]

Hvis du bytter ut $x$ med $x-1$ så får du $\frac{1}{1-(x-1)} = \frac{1}{2-x} = 1 + (x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3 + (x-1)^4+\ldots = \sum_{n=0}^{\infty} (x-1)^n$ og $\int \frac{1}{2-x}~\textrm{d}x = -\ln|2-x|$

[pi-ra]

Hvis du bytter ut $x$ med $x-1$ så får du $\frac{1}{1-(x-1)} = \frac{1}{2-x} = 1 + (x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3 + (x-1)^4+\ldots = \sum_{n=0}^{\infty} (x-1)^n$ og $\int \frac{1}{2-x}~\textrm{d}x = -\ln|2-x|$

Ja, det var det jeg også gjorde, men hva gjør man videre? Nå har du jo på en måte integrert venstre side av likningen, men så må man integrere høyre side med summetegnet.
Svaret skal i følge fasit bli [tex]ln2 - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{2^nn}[/tex] for [tex](-2\leq x < 2)[/tex]

Skjønner ikke hvorfor konvergensområdet blir slik heller.

[MatIsa]

Ja, det var det jeg også gjorde, men hva gjør man videre? Nå har du jo på en måte integrert venstre side av likningen, men så må man integrere høyre side med summetegnet.
Svaret skal i følge fasit bli [tex]ln2 - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{2^nn}[/tex] for [tex](-2\leq x < 2)[/tex]

Skjønner ikke hvorfor konvergensområdet blir slik heller.

Okay, da forventes det nok en litt annerledes framgangsmåte

$\int \frac{1}{2-x}~\textrm{d}x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1-\frac{x}{2}}~\textrm{d}x =\frac{1}{2} \int \left(\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n\right)~\textrm{d}x$
I den siste overgangen brukte jeg $\frac{1}{1-y} = \sum_{n=0}^{\infty} y^n$ for $-1<y<1$ med $y=\frac{x}{2}$

Det blir lettere å se hvorfor konvergensområdet blir som det blir nå. Dersom $ \sum_{n=0}^{\infty} y^n$ konvergerer når $-1<y<1$, konvergerer $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n$ når $-1<\frac{x}{2}<1 \Leftrightarrow -2<x<2$

[pi-ra]

Ja, det var det jeg også gjorde, men hva gjør man videre? Nå har du jo på en måte integrert venstre side av likningen, men så må man integrere høyre side med summetegnet.
Svaret skal i følge fasit bli [tex]ln2 - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{2^nn}[/tex] for [tex](-2\leq x < 2)[/tex]

Skjønner ikke hvorfor konvergensområdet blir slik heller.

Okay, da forventes det nok en litt annerledes framgangsmåte

$\int \frac{1}{2-x}~\textrm{d}x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1-\frac{x}{2}}~\textrm{d}x =\frac{1}{2} \int \left(\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n\right)~\textrm{d}x$
I den siste overgangen brukte jeg $\frac{1}{1-y} = \sum_{n=0}^{\infty} y^n$ for $-1<y<1$ med $y=\frac{x}{2}$

Det blir lettere å se hvorfor konvergensområdet blir som det blir nå. Dersom $ \sum_{n=0}^{\infty} y^n$ konvergerer når $-1<y<1$, konvergerer $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n$ når $-1<\frac{x}{2}<1 \Leftrightarrow -2<x<2$

Hm, er det du skrev sist nå hele utregningen?
Hvor blir av [tex]ln2[/tex] som skal stå foran summetegnet, og [tex]n[/tex] som skal stå under brøkstreken inni summetegnet?

[MatIsa]

Hm, er det du skrev sist nå hele utregningen?
Hvor blir av [tex]ln2[/tex] som skal stå foran summetegnet, og [tex]n[/tex] som skal stå under brøkstreken inni summetegnet?

Nei, det gjenstår å integrere og å finne integrasjonskonstanten

[pi-ra]

Hm, er det du skrev sist nå hele utregningen?
Hvor blir av [tex]ln2[/tex] som skal stå foran summetegnet, og [tex]n[/tex] som skal stå under brøkstreken inni summetegnet?

Nei, det gjenstår å integrere og å finne integrasjonskonstanten

Kunne du lagt ut hele utregningen fra start til slutt? Får det ikke til å stemme..

[MatIsa]

Kunne du lagt ut hele utregningen fra start til slutt? Får det ikke til å stemme..

$\int \frac{1}{2-x}~\textrm{d}x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1-\frac{x}{2}}~\textrm{d}x =\frac{1}{2} \int \left(\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n\right)~\textrm{d}x
= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\left( \int \frac{x^n}{2^n}~\textrm{d}x\right)$
$-\ln|2-x| = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{2^n(n+1)}+C$
Ettersom $x\in (-1, 1)$, er $2-x\in(1,3)$. Derfor kan vi droppe absoluttverdien og skrive
$\ln(2-x) = -\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)}+C$. Her har jeg også tatt med faktoren $\frac{1}{2}$ innenfor summasjonstegnet, slik at det blir $2^{n+1}$ i nevneren istedenfor $2^n$.
For å finne $C$ kan det være smart å evaluere uttrykket for en $x$-verdi slik at den uendelige rekken forsvinner. I dette tilfellet gjør den det når $x=0$.
$\ln(2-0) = -\sum_{n=0}^\infty \frac{0^{n+1}}{2^{n+1}n+1}+C\Leftrightarrow C = \ln {2}$
Altså:
$ln(2-x) = \ln{2} - \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)} = \ln{2} - \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n}}{2^{n}n}$
Til slutt har jeg begynt summasjonen på $n=1$ istedenfor $n=0$, og kan derfor bytte ut $\frac{x^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)}$ med $\frac{x^n}{2^n n}$, som er litt penere

[pi-ra]

Tusentakk!