Projektiv differensialligning

[modasser]

Hei,
prøver å løse denne, men får feil svar, hvordan blir det riktig, prøvde slik:

Oppgave 1:

Løs
[tex]xyy^\prime =2y^2-x^2[/tex]

prøvde:

delte med xy på begge sider og fikk:

[tex]y^\prime= 2\frac{y}{x} -\frac{x}{y}[/tex]

setter,
[tex]y=ux[/tex]

deriverer y og får,
[tex]y^\prime=u^\prime x+u[/tex]

Setter dette inni det opprinnelige:
[tex]y^\prime= 2\frac{y}{x} -\frac{x}{y}[/tex]
og får
[tex]u^\prime x+u=2u-\frac{1}{u}[/tex]

siden [tex]u^\prime=\frac{du}{dx}[/tex]

er:

[tex]\frac{udu}{u^2-1}=\frac{1}{x}dx[/tex]

integrerer og får:

[tex]\frac{1}{2}ln(u^2-1)=ln(x)+C[/tex]

tar euler på begge sider og får:
[tex]\frac{u^2}{2} -\frac{1}{2}=Cx[/tex]

[tex]u=\pm \sqrt{2Cx+1}[/tex]

Setter dette resultatet i den opprinnelige:

[tex]y=ux[/tex]

og får:
[tex]y=\pm x \sqrt{2Cx+1}[/tex]

Men i fasiten står det
[tex]y= \pm x \sqrt{Cx^2+1}[/tex]

Så hvor er det feilen ligger og hvordan blir det riktig?

[Janhaa]

Har ikke regna oppgava di, men hvis du har delt på xy fra 1. til andre linje, så blir det:

Løs
[tex]xy^\prime =2y^2-x^2[/tex]

[tex]y^\prime \frac{1}{y}= 2\frac{y}{x} -\frac{x}{y}[/tex]

setter,
[tex]y=ux[/tex]

deriverer y og får,
[tex]y^\prime=u^\prime x+u[/tex]

[modasser]

det er faktisk

[tex]xyy^\prime[/tex]

på venstre siden og ikke.

xy'

så korrigerte jeg over og regnet som nevnt over men likevel får ikke svaret til å stemme med fasiten. Hvorfor?

[Janhaa]

[tex]\frac{udu}{u^2-1}=\frac{1}{x}dx[/tex]
integrerer og får:[tex]\frac{1}{2}ln(u^2-1)=ln(x)+C[/tex]

"feilen" din ligger her, hvis du skriver som under får du fasitsvar:


[tex]\frac{udu}{u^2-1}=\frac{1}{x}dx[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\ln(u^2-1)=\ln(x)+C[/tex]

[tex]\ln(u^2-1)=\ln|x|^2+C[/tex]

[tex]u^2=y^2/x^2 = Cx^2+1[/tex]
....
[tex]y= \pm x*\sqrt{ Cx^2+1}[/tex]