Katt jager mus- differensialligning

[modasser]

Hei,
Jeg har en oppgave som jeg trenger hjelp til:

Oppgave 10.4.21
[tex]x{y}''=k\sqrt{1+(y^\prime)^2}[/tex]

c) Bestem y som funksjon av x. (Hint: [tex]\int \frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=ln(p+\sqrt{1+p^2})=arsinh (p)[/tex].) Anta at a= 1.5, og at b=2.0, og at det står en musefelle på y-aksen ved y=2. Vil musen bli fanget av katten eller vil den gå i fella først?

Kan noen løse denne slik at man finner y(x) ? kan noen vise dette her?

[zell]

[tex]\frac{y^{\prime\prime}}{\sqrt{1+(y^\prime)^2}} = \frac{k}{x}[/tex]

Første integrasjon:

[tex]\text{arcsinh}(y^\prime) = k\ln{x}+c_1 \ \Rightarrow \ y^\prime = \sinh{\left(k\ln{x}+c_1\right)}[/tex]

Siste integrasjon:

[tex]y(x) = \int\sinh{\left(k\ln{x}+c_1\right)}[/tex]

Bruk substitusjonen [tex]u=k\ln{x}+c_1[/tex] + delvis integrasjon og du skal komme i mål.

[modasser]

Jeg prøvde å løse integralet som er nevnt i oppgave c) men får et helt annet svar,dette her

[tex]y(x)= \frac{x(0.5 k (x^{-k} +x^k)-0.5(x^k-x^{-k})}{k^2-1}[/tex]

mens i fasiten står det:

[tex]y(x)=0.5 (\frac{x^{k+1}}{k+1}+\frac{x^{-k+1}}{k-1}) - \frac{k}{k^2-1}[/tex]

og at katten når frem siden [tex]\: y(0)=\frac{12}{7} < 2.[/tex]

Hvordan kommer man til svaret som i fasiten, kan du regne ut og vise det, jeg legger ut oppgaven fra start til slutt

https://www.dropbox.com/s/on3n7kooria2y82/253.jpg?dl=0

https://www.dropbox.com/s/rqkingz6lsy1yvm/252.jpg?dl=0

[zell]

Det er det samme svaret jeg får ved å bruke Wolframalpha:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... %2Bc1%29dx