Optimering av sylinder

[hannebanan]

har slitet med denne oppgaven en god stund nå, så hvis noen kan hjelpe meg hadde det vært supert!

"du skal bygge en rett sylinder som har bunn, men ikke topp. sylinderen skal romme 50,0 liter. bestem radien i sylinderen slik at det går med minst mulig materiale"

[Realist1]

har slitet med denne oppgaven en god stund nå, så hvis noen kan hjelpe meg hadde det vært supert!

"du skal bygge en rett sylinder som har bunn, men ikke topp. sylinderen skal romme 50,0 liter. bestem radien i sylinderen slik at det går med minst mulig materiale"

Ok, la oss begynne med å finne et uttrykk for overflatearealet til denne figuren. Bunnen er en sirkel, mens veggen er et helt vanlig rektangel, hvor én side er kjeglens høyde, og den andre siden er bunnens omkrets.

Bunn:
$A_b = \pi \cdot r^2$

Vegg:
$A_v = h \cdot (2 \pi r)$

Totalt:

$A = \pi r^2 + 2 \pi r h$

Samtidig har vi volumet av sylinderen:

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h = 50$ dm$^3$

Dette betyr at $h = \frac{50}{\pi r^2}$

Setter vi dette inn i totalarealligningen, får vi:

$A(r) = \pi r^2 + 2 \pi r \cdot \frac{50}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{100}{r}$

Her har vi altså et uttrykk for overflatearealet / "materialforbruket" som en funksjon av radien i sylinderen. Nå vil vi finne den $r$ som gir minst mulig areal $A$. Da deriverer vi og setter lik 0 for å finne bunnpunkt.

$A'(r) = 2 \pi r - \frac{100}{r^2} = 0$

$r^3 = \frac{50}{\pi}$

$r = \sqrt[3]{\frac{50}{\pi}}$

Vi bruker altså minst materiale dersom vi lager sylinderen med radius $r = \sqrt[3]{\frac{50}{\pi}} \, \textrm{dm }\approx 25.2 \, \textrm{cm}...$

Ser forresten WolframAlpha foretrekker uttrykket $r = 5^{2/3} \sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}$ i stedet for $r = \sqrt[3]{\frac{50}{\pi}}$. Jeg synes nå sistnevnte ser bedre ut. Men smaken er som baken.

Spørsmålet er imidlertid om jeg har regnet rett..? Synes svaret var relativt stygt for VGS-oppgave å være. Noen som ser noen feil? Skrik ut!

[hannebanan]

Spørsmålet er imidlertid om jeg har regnet rett..? Synes svaret var relativt stygt for VGS-oppgave å være. Noen som ser noen feil? Skrik ut!

Tusen takk for svar!
I fasiten står det 2,52 dm, så du har regnet riktig. Oppgaven er hentet fra en gammel tentamen (husker ikke helt hvorfra, tror det er Sigma), og jeg er enig i at det er en veldig stygg oppgave til å bli gitt til elever i 1T.

[Realist1]

Tusen takk for svar!
I fasiten står det 2,52 dm, så du har regnet riktig. Oppgaven er hentet fra en gammel tentamen (husker ikke helt hvorfra, tror det er Sigma), og jeg er enig i at det er en veldig stygg oppgave til å bli gitt til elever i 1T.

Bare hyggelig.

I utgangspunktet var det ikke oppgaven, men bare svaret, jeg reagerte på. Men hvis dette faktisk er en oppgave som ble gitt til VG1-elever, så er jeg enig i at den er ganske drøy uansett!

[Gjest]

nja, hvorvidt den er relevant for 1T'ere kan diskuteres, for å komme fram til uttrykket + løse det med funksjonsdrøfting (herunder derivasjon) er jo meget relevant for dette nivået, og som gis til eksamen, men er enig i at det kan være tøft for mange å komme framtil uttrykket. Kanskje burde oppgaven ha vært formulert slik at man skal vise at det er uttrykket, slik at elever som ikke klarer å sette opp uttrykket likevel får vist kunnskaper innenfor funksjonsområdet?

[Realist1]

nja, hvorvidt den er relevant for 1T'ere kan diskuteres, for å komme fram til uttrykket + løse det med funksjonsdrøfting (herunder derivasjon) er jo meget relevant for dette nivået, og som gis til eksamen, men er enig i at det kan være tøft for mange å komme framtil uttrykket. Kanskje burde oppgaven ha vært formulert slik at man skal vise at det er uttrykket, slik at elever som ikke klarer å sette opp uttrykket likevel får vist kunnskaper innenfor funksjonsområdet?

Klart, det er ikke noe som er *nytt* her, i forhold til pensum i 1T. Volum- og arealformlene for disse figurene bør være kjent fra ungdomsskolen, og med litt erfaring fra lignende oppgaver, bør det gå fint an å forstå oppgaveteksten og vite hva som i alle fall er hovedtanken med oppgaven. Men samtidig, så er det vel såvidt man toucher innom dette med å derivere funksjoner for å finne bunnpunkt, i 1T, så det å bruke det i en såpass "heftig" oppgave med slike "kjipe" tall, blir litt ekstra utfordrende. Så helt klart innafor, men den må så absolutt kunne regnes som en utfordrende oppgave - kanskje best egnet til å skille mellom 5ere og 6ere..?

Edit: Ang. touche innom derivasjon for å finne bunnpunkt... Jeg vet at man lærer ganske greit å derivere en funksjon for å finne bunnpunkt. Men hele prosessen med å sette opp en ligning for å uttrykke et areal som funksjon av en variabel, for deretter å forstå at dette arealet er en funksjon som kan deriveres og settes lik 0, for å finne bunnpunkt på vanlig måte, etc... Er i alle fall noe jeg har opplevd at veldig mange har problemer med, selv i R1, og til og med i R2. Steg for steg er det ikke noe kjempeavansert her, men det å se hele fremgangsmåten, og forstå hvert eneste steg til oppgaven er slutt, må vel kunne sies å være utfordrende...

[Gjest]

Mhm, når du sier det på den måten så skjønner jeg helt klart hva du mener og er enig.
Det mest utfordrende her, som jeg vil påstå, er nok å sette seg ned og pusle med en arbeidstegning også kombinere formler, for så å komme til et uttrykk. Ikke at du hadde brukt lang tid, men det er som du sier. På slike oppgaver kreves det noe mer erfaring med liknende oppgaver enn ellers. Det hjelper nok ikke så veldig mye å aldri ha jobbet med oppgaver av slik natur, for så å prøve å løse akkurat en slik en.
Erfaringsmessig vil jeg si at de oppgavene jeg har touchet bort i når det gjelder slike, har alltid oppgitt selve uttrykket for areal (eller volum), men at man må vise utledningen på en fullverdig måte. Og det mener jeg er da mer "brukervennlig" for 1T nivå. Slik at de faktisk kan bruke ulike ideer de får underveis til å løse oppgaven og sammenlikne med fasitsvaret.