Differensialgeometri

[stensrud]

EDIT: Noe har gått skrekkelig galt med formateringen her - noen som vet hvordan jeg kan få ordnet opp i dette?

For $a>0$, let $S\subset \mathbb{R}^3$ be the circular half-cone defined by $z^2 = a(x^2+y^2),z>0$, considered as an embedded surface.

1. Show that $S$ minus a ray through the origin is isometric to a suitable region in the plane with the usual length metric. [you should try to parametrise $S$ minus a ray appropriately.]
2. When is $S$ minus a ray isometric to this region with the Euclidean metric induced from $\mathbb{R}^2$?
3. When $a=3$ show that no geodesic intersects itself, whereas when $a>3$ show that there are geodesics (of infinite length) which do intersect themselves.

Først og fremst så ble isometrier kun definert mellom subsets av $\mathbb{R}^2$ i forelesningene, så jeg er litt usikker på hva som menes med første deloppgave - men jeg er ganske sikker på at jeg fant en parametrisering som induserer "the usual length metric" på det tilhørende underrommet $V$ i $\mathbb{R}^2$. (Vi "bretter" ut kjeglen, sant?)

Så lurer jeg på andre deloppgave: Er ikke "the Euclidean metric induced from $\mathbb{R}^2$" nettopp "the usual length metric"? Hva spørres det egentlig om her?

Når det kommer til den siste oppgaven så tror jeg det er noe mer fundamentalt jeg misforstår. I forelesningsnotatene har vi et lemma som sier: Let $V \subseteq \mathbb{R}^2$ be an open set with a Riemannian metric, and let $P, Q \in V$ . Consider $C^\infty$ curves $\gamma : [a,b] \to V$ such that $\gamma(0) = P,\gamma(1) = Q$. Then such a $\gamma$ will minimize the energy (and therefore is a geodesic) if and only if $\gamma$ minimizes the length and has constant speed.

Siden jeg har en parametrisering av kjeglen, kan jeg ikke bare jobbe i $V$ med den vanlige metrikken og tegne en rett strek mellom to punkter (minimere lengden), og parametrisere den med konstant fart? Hvordan kan det ha seg at noen geodesics har uendelig lengde?

[Gustav]

Det vanlige er vel å betrakte kjegler som utbrettet i planet. (Stråler fra spissen på kjegla vil være eksempel på uendelig lange geodesekurver) Geodesekurver på kjegla vil tilsvare rette linjer på den utbretta versjonen. Ulike verdier av $a$ vil svare til kjegler med ulik "spisshet". Med vanlig geometri er det lett å se at tilfellet $a=3$ svarer til en kjegle som i utbrettet versjon tilsvarer (f.eks.) øvre halvplan i $R^2$ der man har identifisert punktene $x=b$ og $x=-b$ (på x-aksen) for alle reelle $b$. Hvis du tegner rette linjer vil du da se at i dette tilfellet vil en linje som treffer x-aksen med en vinkel $\alpha$ i punkt $x=b$, bli "reflektert" ut fra punktet $x=-b$ parallelt med "innkommende" linje, slik at den aldri vil krysse seg selv. "Innkommende" og "utgående linje" vil ikke være parallelle for $a>3$, og således vil geodesekurvene kunne krysse seg selv.

Forsøk på å illustrere tilfellet a=3:

[stensrud]

Takk Gustav, det hjalp veldig. Har du noen idé angående usual length metric vs standard Euclidean metric induced from $\mathbb{R}^2$?

[Gustav]

Jeg tolker det slik at spørsmålet i punkt 2 går på for hvilke verdier av $a$ kjegla er isometrisk med en passende region i R^2 med den induserte euklidske metrikken.

F.eks. vil, for en viss $a$, kjegla avbildes til denne regionen:



Den induserte metrikken fra R^2 vil da gi at avstanden mellom de rosa punktene er lengden på den oransje linja (rent algebraisk definert som $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$), mens den korteste avstanden mellom de tilsvarende punktene på kjegla er lengden av de to grønne linjestykkene (siden man ikke kan krysse strålen fra origo som er klippet bort må man gå langs geodesekurver via bunnpunktet på kjegla). Altså vil ikke regionen med den induserte euklidske metrikken være isometrisk med kjegla (utstyrt med metrikken definert som den geodesiske avstanden).

Edit: Man kan jo utstyre regionen i R^2 med en annen metrikk, definert som den grønne linja i figuren over dersom de to punktene ikke ligger innenfor samme halvplan, og da vil jo kjegla (minus en stråle) være isometrisk med regionen utstyrt med denne metrikken. Det er mulig det er dette de mener i punkt 1 når de skriver "the usual length" ?

For andre verdier av $a$ vil regionen se slik ut:



, og da vil den euklidske metrikken sammenfalle med metrikken på kjegla, slik at vi får en isometri mellom kjegla og regionen utstyrt med den induserte metrikken fra R^2.


Edit: Virker som geodesekurver på kjegla er godt forklart og illustrert på denne bloggen: https://conversationofmomentum.wordpres ... on-a-cone/