Gitt:
[tex]f(x)+f(x+1)=2x+3[/tex]
og
[tex]f(2)=3[/tex]
hva er:
[tex]f(99)[/tex]?
liten "Abel oppgave"
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Min løsning: utregning, antagelse, bevis og til slutt anvendelse.
Flytter om til [tex]f(x+1)=2x+3-f(x)[/tex], og regner ut noen verdier for [tex]f[/tex]:
[tex]f(2+1)=f(3)=2\cdot 2+3-3=4[/tex]
[tex]f(4)=5,\: f(5)=6,\: f(6)=7[/tex].
Ser ut som [tex]f(x)=x+1[/tex]. Setter det inn i venstresiden for å få høyresiden:
[tex]f(x)+f(x+1)=x+1+x+1+1=2x+3[/tex].
Dermed er [tex]f(99)=100[/tex].
Flytter om til [tex]f(x+1)=2x+3-f(x)[/tex], og regner ut noen verdier for [tex]f[/tex]:
[tex]f(2+1)=f(3)=2\cdot 2+3-3=4[/tex]
[tex]f(4)=5,\: f(5)=6,\: f(6)=7[/tex].
Ser ut som [tex]f(x)=x+1[/tex]. Setter det inn i venstresiden for å få høyresiden:
[tex]f(x)+f(x+1)=x+1+x+1+1=2x+3[/tex].
Dermed er [tex]f(99)=100[/tex].
Jeg løste den også selv først som alund, men lurer på om følgende også kan være gyldig, særlig antakelsen om at $f(x)$ er lineær:
Ut av opplysningene kan vi anta at $f(x)$ er en lineær funksjon, altså på formen $ax + b$
Da vil $f(0)$ gi oss konstantleddet; $f(0) = 3 - f(1)$, og $f(1)=2+3-f(2)=2$, så $f(0)=3-2=1$
Og siden funksjonen er lineær er det null problem å finne stigningstallet: $\frac{y_{x=2}-y_{x=0}}{\Delta x} = \frac{3-1}{2} = 1$
Da må $f(x) = x +1$, og av dette ser vi at $f(99) = 100$
Ut av opplysningene kan vi anta at $f(x)$ er en lineær funksjon, altså på formen $ax + b$
Da vil $f(0)$ gi oss konstantleddet; $f(0) = 3 - f(1)$, og $f(1)=2+3-f(2)=2$, så $f(0)=3-2=1$
Og siden funksjonen er lineær er det null problem å finne stigningstallet: $\frac{y_{x=2}-y_{x=0}}{\Delta x} = \frac{3-1}{2} = 1$
Da må $f(x) = x +1$, og av dette ser vi at $f(99) = 100$
Sist redigert av Markus den 14/11-2017 23:39, redigert 1 gang totalt.