Vis ved figur at tangenten gjennom z_1 og z_2 skjærer w

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gjest

Hei!
Jeg har en oppgave som jeg sitter helt fast på og håper noen kan vise hvordan man løser den, hadde vært super og satt pris på : :)

Oppgave 43 i)
Anta at [tex]\:z1, z2\:[/tex] er to forskjellige tall på enhetssirkel (som har |z|=1), slik at [tex]\: z_{1}\neq−z_{2}\:[/tex]. Vis ved en figur at tangentene gjennom [tex]\:z1, z2\:[/tex] skjærer hverandre i et punkt [tex]\: w \:[/tex], og forklar
hvorfor vi må anta at [tex]\: z_{1}\neq −z_{2}\:[/tex]. Vis at skjæringspunktet [tex]\: w \:[/tex] er gitt ved
[tex]w =\frac{2\cdot z1 \cdot z2}{ z1+z2}[/tex]
.
Emilga
Riemann
Riemann
Innlegg: 1552
Registrert: 20/12-2006 19:21
Sted: NTNU

Har du forsøkt å tegne opp situasjonen som en figur?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Her kan du bruke informasjonen fra tidligere oppgave, nemlig at punktet $w$ på tangenten gjennom $z$ på enhetssirkelen tilfredsstiller $w+z^2\bar{w}=2z$.

Skjæringspunktet $w$ mellom de to tangentene må, siden det ligger på begge tangentene, derfor oppfylle følgende to likninger:

1. $w+z_1^2\bar{w}=2z_1$

2. $w+z_2^2\bar{w}=2z_2$

Eliminér $\bar{w}$ fra likningene for å finne et uttrykk for $w$.
Gjest

please, kjære plutarco, kan du skissere det, please?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

1. $w+z_1^2\bar{w}=2z_1$

2. $w+z_2^2\bar{w}=2z_2$

Gang likning 1) med $\frac{z_2}{z_1}$ og likning 2) med $\frac{z_1}{z_2}$:

1. $\frac{wz_2}{z_1}+z_1z_2\bar{w}=2z_2$

2. $\frac{wz_1}{z_2}+z_1z_2\bar{w}=2z_1$

1) - 2) gir at

$w(\frac{z_2}{z_1}-\frac{z_1}{z_2})=2(z_2-z_1)$

$w=\frac{2(z_2-z_1)}{\frac{z_2}{z_1}-\frac{z_1}{z_2}}=\frac{2z_1z_2(z_2-z_1)}{z_2^2-z_1^2}=\frac{2z_1z_2(z_2-z_1)}{(z_2-z_1)(z_1+z_2)}=\frac{2z_1z_2}{z_1+z_2}$.
Gjest

Er det mulig å vise dette ved figur? :) Please, plutarco, kunne du vise det ved figur, jeg skjønner best ved figur, sånn geometrisk, for nå ser jeg bare algebra her :) please plutarco, please?
Svar