Julekalender - luke 13

[Gustav]

For positive reelle tall $x$ definerer vi $\{x\}$ som det største tallet av $x$ og $\frac1x$, der $\{1\}=1$. F.eks. er $\{0.5\}=2$, $\{4.2\}=4.2$, $\{0.1\}=10$ etc.

Finn alle positive reelle tall $x$ slik at $5x\cdot \{8x\}\cdot \{25x\}=1$.

[MatIsa]

For positive reelle tall $x$ definerer vi $\{x\}$ som det største tallet av $x$ og $\frac1x$, der $\{1\}=1$. F.eks. er $\{0.5\}=2$, $\{4.2\}=4.2$, $\{0.1\}=10$ etc.

Finn alle positive reelle tall $x$ slik at $5x\cdot \{8x\}\cdot \{25x\}=1$.

Har at $\{x\} = x$ når $x\geqslant 1$ og $\{x\} =1/x$ når $x\leqslant 1$. Må dermed se på tre tilfeller: $x\geqslant 1/8$, $1/25\leqslant x < 1/8$ og $x < 1/25$.
Når $x\geqslant 1/8$ kan likningen skrives som $5x\cdot 8x\cdot 25x = 1\Longrightarrow 1000x^3 = 1\Longrightarrow x = 1/10< 1/8\Longrightarrow$ Ingen løsning.
$1/25\leqslant x < 1/8$: Her er likningen $5x\cdot \dfrac{1}{8x}\cdot 25x = 1\Longrightarrow \dfrac{125x}{8} = 1\Longrightarrow x = \dfrac{8}{125}$
$x<1/25$ gir $5x\cdot \dfrac{1}{8x}\cdot \dfrac{1}{25x} = 1\Longrightarrow \dfrac{1}{40x} = 1\Longrightarrow x = \dfrac{1}{40}$
Løsningene er altså $x = 8/125$ og $x = 1/40$

[Gustav]

Korrekt!