Let k be a field.
Explain that [tex]Hom_{k}(k^3,k^2)[/tex] is isomorphic to [tex]k^6[/tex]. In general, what is [tex]Hom_{A}(A^n,A^m)[/tex] isomorphic to?
[tex]\chi : \phi \rightarrow k^6[/tex]
og
[tex]\phi : k^3 \rightarrow k^2[/tex]
klarer ikke finne noe map $\phi$, er det noen theorems som kan brukes her?
føler jeg har prøvd alt mulig rart men går meg bare fast..
k^3 map to k^2
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
CharlieEppes
- Cantor
- Innlegg: 141
- Registrert: 01/10-2014 17:26
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
-
Fibonacci92
- Abel
- Innlegg: 665
- Registrert: 27/01-2007 22:55
Hint: $Hom_\mathbb{R}(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^2)$ er lineæravbildninger fra $\mathbb{R}^3$ til $\mathbb{R}^2$. Husker du fra lineær algebra hvordan slike gjerne beskrives?
Edit: Forresten. Isomorfe som hva? Vektorrom? I så fall kan det kanskje holde å finne dimensjonen til vektorrommet? Alle vektorrom (over samme kropp) av samme endelige dimensjon er isomorfe.
Edit: Forresten. Isomorfe som hva? Vektorrom? I så fall kan det kanskje holde å finne dimensjonen til vektorrommet? Alle vektorrom (over samme kropp) av samme endelige dimensjon er isomorfe.
-
CharlieEppes
- Cantor
- Innlegg: 141
- Registrert: 01/10-2014 17:26
[tex]\phi : k^3 \rightarrow k^2[/tex]Fibonacci92 skrev:Hint: $Hom_\mathbb{R}(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^2)$ er lineæravbildninger fra $\mathbb{R}^3$ til $\mathbb{R}^2$. Husker du fra lineær algebra hvordan slike gjerne beskrives?
[tex]1_{k^3} \mapsto A*1_{k^3}[/tex]
[tex]x \mapsto Ax[/tex]
, der A er en 2x3 matrise med koeffisienter i k?
og siden det finnes en isomorphism [tex]\theta : A_{2x3} \rightarrow k^6[/tex]
hvor "entries" i k^6 bestemmer homomorphism [tex]\phi : k^3 \rightarrow k^2[/tex]
[tex]\implies Hom_{k}(k^3,k^2) \cong k^6[/tex]?
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Riktig, men du må vel vise at $\theta : k_{2\times 3}\to k^6$ er en bijektiv k-modulhomomorfi, dvs. at
$\theta(a+b)=\theta(a)+\theta(b)$ og
$s\theta(a)=\theta(sa)$
der $a,b\in k_{2\times 3}$, $s\in k$, og multiplikasjon med skalarer er definert som vanlig for matriser.
Bijektiviteten er også åpenbar, så $Hom_k(k^3,k^2)$ er isomorf med $k^6$ som k-moduler. (og siden k er en kropp, som k-vektorrom).
Alternativt: Siden $k$ er en kropp så kan vi identifisere $Hom_k(k^3,k^2)$ og $k^6$ med k-vektorrom med basis hhv. $\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$... , og $(1,0,0,0,0,0)$, $(0,1,0,0,0,0)$..., begge med dimensjon $6$. Teorem: vektorrom av samme dimensjon er isomorfe.
$\theta(a+b)=\theta(a)+\theta(b)$ og
$s\theta(a)=\theta(sa)$
der $a,b\in k_{2\times 3}$, $s\in k$, og multiplikasjon med skalarer er definert som vanlig for matriser.
Bijektiviteten er også åpenbar, så $Hom_k(k^3,k^2)$ er isomorf med $k^6$ som k-moduler. (og siden k er en kropp, som k-vektorrom).
Alternativt: Siden $k$ er en kropp så kan vi identifisere $Hom_k(k^3,k^2)$ og $k^6$ med k-vektorrom med basis hhv. $\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$... , og $(1,0,0,0,0,0)$, $(0,1,0,0,0,0)$..., begge med dimensjon $6$. Teorem: vektorrom av samme dimensjon er isomorfe.
-
CharlieEppes
- Cantor
- Innlegg: 141
- Registrert: 01/10-2014 17:26
Med samme bevisføring generaliserer vell man bare for A^m og A^n tilfellet, og der A er en kropp?
slik at [tex]Hom_{A}(A^n,A^m) \cong A^{mn}[/tex] ?
slik at [tex]Hom_{A}(A^n,A^m) \cong A^{mn}[/tex] ?
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein