Hei!
Har to oppgaver som følger:
Finn grenseverdien hvis det eksisterer:
1)
lim x går mot inf (√(n+2)-√n)) = 0
-----
Jeg brukte 3 kvadratsetning som ga meg lim x går mot inf (√(n+2)-√n)) = lim x går mot inf 2/(√(n+2)+√n)
Nå kan jeg tolke tydligere uten å stole helt på grafen at funksjonen nærmer seg 0 for n>0 V n=0
Stemmer det?
-----
Finn grenseverdien hvis den eksisterer:
2)
lim x går mot inf 1/(√(n+√n)-√n) = 2
Også her brukte jeg 3 kvadratsetning som til slutt ga meg lim x går mot inf (√(n+√n)/√n)+1 = 2
Man ser ju ved innsetning av n=2, n=5 och n=20 osv at grenseverdien går mot 2 når x går mot inf.
Men hvordan kan jeg løse disse oppgavene på en mer overbevisende måte, så å si?
Finn grenseverdien hvis den eksiterer
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Slik jeg tolker oppgaven er det $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n}} = 2$... Er det denne oppgaven du også snakker om? Hvordan får du omskrevet uttrykket slik?
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
$
\frac{1}{\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n}}
=
\frac{1}{\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n}} \cdot \frac{ \sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n} }{ \sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n} }
=
\frac{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n}}{\sqrt{n}}
=
\frac{\sqrt{n + \sqrt{n}} }{\sqrt{n}} + 1
$
osv. Hvor det bare ble brukt at $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, altså konjugatsetningen.
For å fullføre argumentet og få uttrykket på formen vist ovenfor bruker
en at $\sqrt{a}/\sqrt{b} = \sqrt{a/b}$, og at $a/\sqrt{a} = \sqrt{a}$
\frac{1}{\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n}}
=
\frac{1}{\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n}} \cdot \frac{ \sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n} }{ \sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n} }
=
\frac{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n}}{\sqrt{n}}
=
\frac{\sqrt{n + \sqrt{n}} }{\sqrt{n}} + 1
$
osv. Hvor det bare ble brukt at $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, altså konjugatsetningen.
For å fullføre argumentet og få uttrykket på formen vist ovenfor bruker
en at $\sqrt{a}/\sqrt{b} = \sqrt{a/b}$, og at $a/\sqrt{a} = \sqrt{a}$
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk