John Einbu - "Finnes det en sann matematikk?"
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
@Einbu: Hvorfor har du så vanskelig for å akseptere samlingen av naturlige tall som en mengde? Det virker som du henger deg opp i at dannelsen av $\mathbb{N}$, ved å føye til ett og ett tall, ikke har en ende? Jeg forstår ikke hvorfor dette skal være et problem. Det er klart at $\mathbb{N}$ inneholder alle endelige positive heltall, og at ethvert endelig tall vil bli inkludert i denne dannelsesprosessen som du beskriver. Hva så om dannelsen aldri har noen ende. Det er jo dette som er essensen i begrepet uendelig: uten begrensning. Poenget er jo at $\mathbb{N}$ inneholder alle endelige positive heltall, samtidig som det ikke fins en øvre skranke for hvor store disse kan være. Vi kan videre sammenligne og regne med alle par av elementer i $\mathbb{N}$. På skepsisforumet ser jeg at du nevner tall på formen ....555, med en uendelighet av 5-tall mot venstre. Du ønsker å sammenligne og definere regneregler mellom slike tall. I min verden er ikke disse tallene engang elementer i mengden av naturlige tall, siden de er uendelig store. De er heller ikke reelle eller komplekse tall, av samme årsak. Det er også helt klart umulig å sammenligne f.eks. ...4545 med ...5454, siden antall siffer er helt avgjørende for hvem av dem som er størst. Hvorfor er det i det hele tatt interessant å regne med slike "tall" ?
Neppe flisespikkeri, må jeg innrømme. Det var en måte jeg ikke har sett på det før. Mulig jeg bruker en litt løsere tolkning av "lukket".plutarco skrev:Litt flisespikkeri, men her er jeg ikke helt enig i måten begrepet "lukket" er brukt. Det er klart at $\mathbb{N}$, som delmengde av $\mathbb{R}$, er lukket. Bevis: $\mathbb{N}= \mathbb{R}\setminus {\cup_{n\in\mathbb{N}}} (n,n+1)$ er lukket siden enhver union av åpne mengder er åpen, og komplementet av en åpen mengde er lukket.Aleks855 skrev:Allerede her svikter matematikken deg. Du ser tydeligvis ikke forskjellen på en lukket mengde og en åpen/halvåpen mengde.1. Cantor gjør følgende forutsetning: Det er mulig å samle alle heltall i en mengde. La oss kalle denne mengden for A.
Hadde Cantor beskrevet en lukket mengde, ville du hatt rett. Men mengden av naturlige tall er en halvåpen mengde. Den har et minste element, men ikke et største.
Resten av argumentasjonen din faller i hullet av første steg.
Jeg adopterer din diskusjonsteknikk, og lar være å lese resten av innlegget ditt. Det er basert på vranglært matematikk og fortjener neppe respons.
Måtte børste av litt lærdom (med endringer over tid), men er det da slik å forstå at $\mathbb N$ er lukket fordi den inneholder alle sine grensepunkter?
-
John Einbu
- Noether
- Innlegg: 33
- Registrert: 05/01-2016 10:55
Jeg rekker desverre ikke å kommentere alle innleggene, men jeg kan forsikre dere om at jeg leser disse med interesse. Jeg må opplyse om at jeg er en gammel mann (83 år) og har ikke praktisert noe matematikk eller lest bøker i dette faget på over 20 år. Dere ønsker at jeg skal føre debatten med matematiske notasjoner, men det klarer jeg ikke lenger. Jeg velger derfor å uttrykke meg med prosa. Dette kan jeg bare beklage. Og heldigvis er mengdelæren en matematisk gren hvor man kan få frem de fleste poenger med ren prosa. Så jeg holder meg til det jeg kan uttrykke på denne måten. I denne omgang skal jeg besvare ett av spørsmålene fra Kjemikern, det andre svaret kommer i morgen.
Til Kjemikern
Jeg svarer gjerne på dine spørsmål. Først må jeg korrigere. Jeg blir ikke såret fordi ingen godtar hva jeg mener er riktig. Det er jeg vant til å oppleve, så det er jeg forberedt på. Det jeg synes er trist er at det ikke synes å være mulig å få i stand en diskusjon i dette forumet som det sømmer seg akademikere. Hvor en problemstilling blir lagt frem av en initiativtaker og som han ønsker lesernes oppfatning om. En eller flere lesere som fatter interesse for emnet tar for seg påstander i startinnlegget og på en nøktern og saklig måte påpeker ett eller annet som vedkommende er uenig i og begrunner hvorfor. Og han kan eventuelt fremme sitt alternative syn. Og slik fortsetter det. I den videre utveksling av synspunkter og meninger er det viktig å avholde seg fra personkarakteristikker av de som deltar i diskusjonen. Selv om det noen gang kan være fristende, spesielt hvis man ikke klarer å finne saklige motargumenter.
Dette har vi ikke klart. Jeg har nok selv syndet litt her, men som forfatter av den boken som ble foreslått som diskusjonsemne, ble jeg kraftig provosert av to debattanter, den ene som påstod at forfatteren ikke visste hva han snakket om og den andre som påstod at jeg hadde skrevet boken i frustrasjon over dårlige karakterer. Den ene unnskyldte seg for uttalelsen sin, men debatten har likevel fortsatt uten at diskusjonsklimaet har endret seg.
Nå vil mine motstandere kunne si at jeg må være forberedt på en viss trakassering fordi jeg er så sta og aldri innrømmer at jeg har tatt feil. For siden de selv er 100 % sikre på at sakens kjerne, Cantors mengdelære, er ufeilbarlig, så fortjener jeg egentlig en slik reaksjon, vil de si. Ja, kanskje mine motstandere har rett og at jeg tar feil. Denne muligheten er selvfølgelig noe jeg hele tiden har vært bevisst på. Tross alt, den gjeldende mengdelære undervises på alle verdens universiteter, så hvordan kan jeg tro at alle matematikerne på all disse universitetene tar feil. For å forklare hvorfor jeg ikke tror på gjeldende mengdelære må jeg gjenta meg selv litt.
1. Cantors mengdelære møtte mye motstand i begynnelsen. Zermelo-Frankl’s versjon (ZFC) imøtegikk ikke alle innvendingene.
2. Det er en kjent sak blant matematikere at ZFC inneholder et ad hoc aksiom hvis eneste hensikt er å unngå paradokser. I ZFC er det altså noen ekstra store mengder som ikke er tillatt. Og den eneste grunnen er at de fører til paradokser. Dette øker i alle fall ikke min tillit til ZFC.
3. Gjeldende mengdelære har en rekke selvmotsigelser også kalt paradokser. Dette anser jeg som en meget utilfredsstillende egenskap ved mengdelæren.
4. Mengdelæren mener å kunne påvise at det er like mange primtall som heltall. Dette er det umulig for meg å forstå.
5. Mengdelære n har som ett av sine aksiomer at alle heltall kan samles i en mengde. I en tidligere blogg har jeg bevist at det ikke er mulig å danne denne mengden av alle heltall.
6. Mengdelæren påstår at det største heltallet ikke finnes, selv om altså alle heltall kan samles i en mengde. Dette får jeg meg ikke til å tro på.
7. Jeg har påvist en feil i Cantors diagonalmetode. En professor ved Trondheim universitet har gått god for dette beviset.
8. I del 2 av en serie innlegg på min blogg om en paradoksfri mengdelære, har jeg vist hvordan alle desimaltall mellom 0 og 1 kan ordnes slik at alle tallene kommer med. Cantor påstår at dette ikke er mulig.
9. Det mest kompromitterende for ZFC’s rennomè er vel det som skjedde med Cantors kontinuumhypotese. Den stiller et spørsmål om plasseringen av c (c = antall desimaltall) på tall-aksen. Hypotesen stod øverst på listen over de mest prominente uløste matematiske problemer som Hilbert i år 1900 satte opp. Helt til 1938 var hypotesen uoppklart. Men dette året viste Gødel at mengdelæren var konsistent om man forutsatte at kontinuumshypotesen var sann. Dette var kanskje ikke så bekymringsfullt i første omgang, men da Paul Cohen i 1963 beviste det motsatte, nemlig at mengdelæren var konsistent også om man forutsatte at kontinuumshypotesen var usann, skapte dette naturlig nok en viss forvirring blant mengdeteoretikere. Kontinuumshypotesen kunne altså hverken bevises eller motbevises. Men hva betyr dette? Det betyr at kontinuumshypotesen egentlig ikke hører hjemme i den tradisjonelle mengdelære, det er ikke meningsfullt å spørre om denne hypotesen er sann eller usann ned dens nåværende aksiomsystem. Men dermed kan vi føye til et nytt bevis på at mengdelæren ikke er komplett. Og det viser igjen hvor uanalyserbar mengdelæren er, den gir minimal innsikt, i stedet leder den sine utøvere helt på villstrå. Den forlegenhet som Gødel og Cohen satte mengdeteoretikerne i kan iallfall neppe tas som et sunnhetstegn for mengdelæren. Tvertimot den styrker en i ens mistanke om at det tallsystem som mengdeteoretikerne opererer med bare er et fantasiprodukt som ikke reflekterer virkeligheten slik den er.
10. Man kan stille mange flere kritiske spørsmål om mengdelæren og noen av disse vil man kunne finne i de to bøkene i matematikk jeg har skrevet.
Alle disse tvilsomme sidene ved mengdelæren affekterer altså ikke hovedstrømmen av matematikere, de tror fremdeles fullt og fast på sin mengdelære. Men ikke bare det, de blir fryktelig krenket hvis en utenforstående finner på å påpeke disse tvilsomme sidene. Og de nekter å vurdere andre løsninger. Og man treffer nesten aldri på en matematiker som kan innrømme i det minste en eneste uheldig egenskap ved dagens mengdelære. Pinter i sin bok «Set Theory» er et hederlig unntak. Til tross for dette mener jeg at dagens mengdelære er en villfarelse, og jeg tror at en gang i fremtiden vil verdens matematikere skamme seg over å snakke om dagens mengdelære.
Jeg håper etter dette at Kjemikern innser hvorfor jeg reagerer som jeg gjør. Han vil kanskje til og med ha en viss forståelse for det. Men det siste er kanskje for mye forlangt. Men det er ikke såret jeg er. Jeg er bare så oppgitt.
Kjemikern stilte også et annet spørsmål. Det skal jeg prøve å svare på i morgen.
Til Kjemikern
Jeg svarer gjerne på dine spørsmål. Først må jeg korrigere. Jeg blir ikke såret fordi ingen godtar hva jeg mener er riktig. Det er jeg vant til å oppleve, så det er jeg forberedt på. Det jeg synes er trist er at det ikke synes å være mulig å få i stand en diskusjon i dette forumet som det sømmer seg akademikere. Hvor en problemstilling blir lagt frem av en initiativtaker og som han ønsker lesernes oppfatning om. En eller flere lesere som fatter interesse for emnet tar for seg påstander i startinnlegget og på en nøktern og saklig måte påpeker ett eller annet som vedkommende er uenig i og begrunner hvorfor. Og han kan eventuelt fremme sitt alternative syn. Og slik fortsetter det. I den videre utveksling av synspunkter og meninger er det viktig å avholde seg fra personkarakteristikker av de som deltar i diskusjonen. Selv om det noen gang kan være fristende, spesielt hvis man ikke klarer å finne saklige motargumenter.
Dette har vi ikke klart. Jeg har nok selv syndet litt her, men som forfatter av den boken som ble foreslått som diskusjonsemne, ble jeg kraftig provosert av to debattanter, den ene som påstod at forfatteren ikke visste hva han snakket om og den andre som påstod at jeg hadde skrevet boken i frustrasjon over dårlige karakterer. Den ene unnskyldte seg for uttalelsen sin, men debatten har likevel fortsatt uten at diskusjonsklimaet har endret seg.
Nå vil mine motstandere kunne si at jeg må være forberedt på en viss trakassering fordi jeg er så sta og aldri innrømmer at jeg har tatt feil. For siden de selv er 100 % sikre på at sakens kjerne, Cantors mengdelære, er ufeilbarlig, så fortjener jeg egentlig en slik reaksjon, vil de si. Ja, kanskje mine motstandere har rett og at jeg tar feil. Denne muligheten er selvfølgelig noe jeg hele tiden har vært bevisst på. Tross alt, den gjeldende mengdelære undervises på alle verdens universiteter, så hvordan kan jeg tro at alle matematikerne på all disse universitetene tar feil. For å forklare hvorfor jeg ikke tror på gjeldende mengdelære må jeg gjenta meg selv litt.
1. Cantors mengdelære møtte mye motstand i begynnelsen. Zermelo-Frankl’s versjon (ZFC) imøtegikk ikke alle innvendingene.
2. Det er en kjent sak blant matematikere at ZFC inneholder et ad hoc aksiom hvis eneste hensikt er å unngå paradokser. I ZFC er det altså noen ekstra store mengder som ikke er tillatt. Og den eneste grunnen er at de fører til paradokser. Dette øker i alle fall ikke min tillit til ZFC.
3. Gjeldende mengdelære har en rekke selvmotsigelser også kalt paradokser. Dette anser jeg som en meget utilfredsstillende egenskap ved mengdelæren.
4. Mengdelæren mener å kunne påvise at det er like mange primtall som heltall. Dette er det umulig for meg å forstå.
5. Mengdelære n har som ett av sine aksiomer at alle heltall kan samles i en mengde. I en tidligere blogg har jeg bevist at det ikke er mulig å danne denne mengden av alle heltall.
6. Mengdelæren påstår at det største heltallet ikke finnes, selv om altså alle heltall kan samles i en mengde. Dette får jeg meg ikke til å tro på.
7. Jeg har påvist en feil i Cantors diagonalmetode. En professor ved Trondheim universitet har gått god for dette beviset.
8. I del 2 av en serie innlegg på min blogg om en paradoksfri mengdelære, har jeg vist hvordan alle desimaltall mellom 0 og 1 kan ordnes slik at alle tallene kommer med. Cantor påstår at dette ikke er mulig.
9. Det mest kompromitterende for ZFC’s rennomè er vel det som skjedde med Cantors kontinuumhypotese. Den stiller et spørsmål om plasseringen av c (c = antall desimaltall) på tall-aksen. Hypotesen stod øverst på listen over de mest prominente uløste matematiske problemer som Hilbert i år 1900 satte opp. Helt til 1938 var hypotesen uoppklart. Men dette året viste Gødel at mengdelæren var konsistent om man forutsatte at kontinuumshypotesen var sann. Dette var kanskje ikke så bekymringsfullt i første omgang, men da Paul Cohen i 1963 beviste det motsatte, nemlig at mengdelæren var konsistent også om man forutsatte at kontinuumshypotesen var usann, skapte dette naturlig nok en viss forvirring blant mengdeteoretikere. Kontinuumshypotesen kunne altså hverken bevises eller motbevises. Men hva betyr dette? Det betyr at kontinuumshypotesen egentlig ikke hører hjemme i den tradisjonelle mengdelære, det er ikke meningsfullt å spørre om denne hypotesen er sann eller usann ned dens nåværende aksiomsystem. Men dermed kan vi føye til et nytt bevis på at mengdelæren ikke er komplett. Og det viser igjen hvor uanalyserbar mengdelæren er, den gir minimal innsikt, i stedet leder den sine utøvere helt på villstrå. Den forlegenhet som Gødel og Cohen satte mengdeteoretikerne i kan iallfall neppe tas som et sunnhetstegn for mengdelæren. Tvertimot den styrker en i ens mistanke om at det tallsystem som mengdeteoretikerne opererer med bare er et fantasiprodukt som ikke reflekterer virkeligheten slik den er.
10. Man kan stille mange flere kritiske spørsmål om mengdelæren og noen av disse vil man kunne finne i de to bøkene i matematikk jeg har skrevet.
Alle disse tvilsomme sidene ved mengdelæren affekterer altså ikke hovedstrømmen av matematikere, de tror fremdeles fullt og fast på sin mengdelære. Men ikke bare det, de blir fryktelig krenket hvis en utenforstående finner på å påpeke disse tvilsomme sidene. Og de nekter å vurdere andre løsninger. Og man treffer nesten aldri på en matematiker som kan innrømme i det minste en eneste uheldig egenskap ved dagens mengdelære. Pinter i sin bok «Set Theory» er et hederlig unntak. Til tross for dette mener jeg at dagens mengdelære er en villfarelse, og jeg tror at en gang i fremtiden vil verdens matematikere skamme seg over å snakke om dagens mengdelære.
Jeg håper etter dette at Kjemikern innser hvorfor jeg reagerer som jeg gjør. Han vil kanskje til og med ha en viss forståelse for det. Men det siste er kanskje for mye forlangt. Men det er ikke såret jeg er. Jeg er bare så oppgitt.
Kjemikern stilte også et annet spørsmål. Det skal jeg prøve å svare på i morgen.
Beklager, dette er ikke tilfellet. All matematikk, også, om ikke spesiellt, mengdelære, hvis du har til hensikt å si noe meningsfylt, krever meget presis formulering. En diskusjon om matematikk er alltid velkomen, men la oss da endelig diskutere matematikk i utvetydige vendinger, noe jeg savner fra din prosa.John Einbu skrev:Og heldigvis er mengdelæren en matematisk gren hvor man kan få frem de fleste poenger med ren prosa.
La meg nå svare kort på dine 10 punkter. La meg dog begynne med konklusjonen. Man må man holde fokuset på hva matematikken faktisk sier oss, og ikke det vi så gjerne skulle ønske den sa. Og måten å komme til bunns i førstnevne på er ved presis analyse av presise utsagn, ikke ved å skrive prosa!
1. Javel. Hvilke innvendinger har du i tankene?
2. La meg se om jeg forstår, og vennligst irettesett meg om jeg har misforstått deg. "ZFC fikser problemene ved den opprinnelige naive mengdelæren. Dette svekker min tillit til ZFC".
3. Hvilke paradokser mener du? ZFC er immun mot de klassiske paradoksene som Cantors paradox, Russels paradoks og Burali-Forti paradokset.
4. Det betyr ikke at det er galt.
5. Nei, så vidt jeg kan se har du ikke det. I så fall kan du jo peke til nøyaktig hvilket blogginnlegg dette beviset befinner seg i slik at vi alle kan lese det?
6. Matematiske påstander er sanne eller gale uavhangig av om du tror på dem. Det er derfor vi skriver beviser.
7. Nei. Professor Hanche-Olsen godtok din beskrivelse av Cantors diagonalmetode for en endelig mengde tall som "ikke kvadratisk", men uttalte seg ikke om overgangen til det uendelige tilfellet, der vi gjenvinner et "kvadrat".
8. Ved å omdefinere heltallene til å inkludere "uendelige tall" av formen ...5454 (disse har forresten et navn: 10-adiske heltall), men mengden av disse nye tallene er ikke tellbar i Cantor's forstand! Så klart du kan telle de relle tallene hvis du omdefinerer hva det vil si å være en tellbar mengde!
9. Så vi har en uavhengig påstand, kontinuumshypotesen, og det er ikke det eneste. Men hva så? Jeg synes du bør argumentere litt sterkere for din påstand om at dette "viser igjen hvor uanalyserbar mengdelæren er, den gir minimal innsikt, i stedet leder den sine utøvere helt på villstrå". I min mening blåser du dette helt ut av proporsjon. I løpet av mitt arbeide i matematikk har jeg aldri merket et problem det dette. Faktisk er det en god nyhet, ettersom vi kan anta sannhet eller usannhet av påstanden dersom vi behøver det. Denne holdningen om at det finnes én måte å gjøre matematikk på er håpløst utdatert. Du burde lese litt moderne mengdelære og forstå hva dennefaktisk sier før du forsøker å bryte den ned.
10. Vanskelig å argumentere mot utilgjengelig informasjon. Istedet for å reklamere for bøkene dine, kunne du jo ha delt litt av denne treffende kritikken her.
-
John Einbu
- Noether
- Innlegg: 33
- Registrert: 05/01-2016 10:55
Til Kjemikern
Du spør hvor mange som har godtatt teorien min. Det vet jeg ikke, jeg vet det er noen, men det er nok ikke mange. Ut i fra det jeg skriver nedenfor, kan du kanskje selv gjøre deg opp en mening om hvor mange det er.
Jeg stiftet kjennskap med mengdelæren første gang da jeg leste boken «Set Theory» av Pinter. Jeg hadde selvfølgelig ingen forhåndsoppgjorte meninger om denne teorien og gikk til lesningen av boken med full tillit til at den var bygget på en troverdig logikk slik som alle de andre matematikkbøkene jeg allerede hadde lest. Etter lesningen av boken satt jeg imidlertid igjen med en følelse at det var noe fundamentalt galt ett eller annet sted med grunnlaget for denne teorien. En teori med så mange selvmotsigelser og andre forunderlige resultater kunne da umulig å være en sann og sunn teori. Jeg slo meg ikke til ro med det, og i de neste 20 årene pløyde jeg igjennom alle de bøkene i mengdelære, som jeg kunne finne, først og fremst for å få mer innsikt i læren, og, hvis det viste seg at førsteinntrykket ble bekreftet, å forsøke å finne en løsning på problemet, å skape en ny mengdelære uten den gjeldende lærens mange åpenbare defekter.
Jeg kontakter også en mengde matematikere i Norge og utlandet. Først og fremst ønsket jeg finne ut om andre hadde oppfattet mengdelæren på samme måte som jeg. Tusenvis av studenter må jo ha lest boken til Pinter og andre tilsvarende lærebøker i mengdelære, så det ville jo være rart om det ikke var noen andre som reagerte med skepsis på det de leste. Forundringen var stor da det viste seg at ingen av dem jeg kontaktet hadde tenkt seg den muligheten at det var noe grunnleggende feil ved mengdelæren. De var klar over paradoksene, at det var like mange primtall som heltall og andre merkverdigheter, men å trekke den slutning at det kanskje var en ide og prøve å finne et grunnlag for en ny mengdelære uten disse sykdomstegnene, det var helt fjernt for de fleste. En matematiker forsøkte seg med en forklaring: han mente at de dyktigste matematikerne (som han selv mente å tilhøre) var i besittelse av et spesielt talent som gjorde dem i stand til å akseptere en egenskap ved en teori, selv om den kunne synes selvmotsigende. Grunnen til at jeg ikke klarte å se at en selvmotsigelse kan være en integrert del av en teori, skyldes at jeg manglet dette spesielle talentet, mente han. Da jeg spurte ham hvor mange artikler i matematikk han hadde publisert, svarte han ikke på det, men jeg fikk vel inntrykk av det ikke var særlig god korrelasjon mellom dette talentet og antall publikasjoner.
I følge den nevnte matematiker mangler jeg altså et matematisk talent, og denne mangelen gjør at jeg ser feil i en teori som ingen andre ser. Noen av deltakerne i den herværende debatten synes å være blant de heldige som er i besittelse av dette verdifulle talentet. De ser ingen feil i mengdelæren. Nå har ikke denne mangelen hemmet meg så veldig, jeg har tross alt utgitt 18 artikler i internasjonale tidsskrifter (ikke alle disse er riktignok i matematikk).
Du spør hvor mange som har godtatt teorien min. Det vet jeg ikke, jeg vet det er noen, men det er nok ikke mange. Ut i fra det jeg skriver nedenfor, kan du kanskje selv gjøre deg opp en mening om hvor mange det er.
Jeg stiftet kjennskap med mengdelæren første gang da jeg leste boken «Set Theory» av Pinter. Jeg hadde selvfølgelig ingen forhåndsoppgjorte meninger om denne teorien og gikk til lesningen av boken med full tillit til at den var bygget på en troverdig logikk slik som alle de andre matematikkbøkene jeg allerede hadde lest. Etter lesningen av boken satt jeg imidlertid igjen med en følelse at det var noe fundamentalt galt ett eller annet sted med grunnlaget for denne teorien. En teori med så mange selvmotsigelser og andre forunderlige resultater kunne da umulig å være en sann og sunn teori. Jeg slo meg ikke til ro med det, og i de neste 20 årene pløyde jeg igjennom alle de bøkene i mengdelære, som jeg kunne finne, først og fremst for å få mer innsikt i læren, og, hvis det viste seg at førsteinntrykket ble bekreftet, å forsøke å finne en løsning på problemet, å skape en ny mengdelære uten den gjeldende lærens mange åpenbare defekter.
Jeg kontakter også en mengde matematikere i Norge og utlandet. Først og fremst ønsket jeg finne ut om andre hadde oppfattet mengdelæren på samme måte som jeg. Tusenvis av studenter må jo ha lest boken til Pinter og andre tilsvarende lærebøker i mengdelære, så det ville jo være rart om det ikke var noen andre som reagerte med skepsis på det de leste. Forundringen var stor da det viste seg at ingen av dem jeg kontaktet hadde tenkt seg den muligheten at det var noe grunnleggende feil ved mengdelæren. De var klar over paradoksene, at det var like mange primtall som heltall og andre merkverdigheter, men å trekke den slutning at det kanskje var en ide og prøve å finne et grunnlag for en ny mengdelære uten disse sykdomstegnene, det var helt fjernt for de fleste. En matematiker forsøkte seg med en forklaring: han mente at de dyktigste matematikerne (som han selv mente å tilhøre) var i besittelse av et spesielt talent som gjorde dem i stand til å akseptere en egenskap ved en teori, selv om den kunne synes selvmotsigende. Grunnen til at jeg ikke klarte å se at en selvmotsigelse kan være en integrert del av en teori, skyldes at jeg manglet dette spesielle talentet, mente han. Da jeg spurte ham hvor mange artikler i matematikk han hadde publisert, svarte han ikke på det, men jeg fikk vel inntrykk av det ikke var særlig god korrelasjon mellom dette talentet og antall publikasjoner.
I følge den nevnte matematiker mangler jeg altså et matematisk talent, og denne mangelen gjør at jeg ser feil i en teori som ingen andre ser. Noen av deltakerne i den herværende debatten synes å være blant de heldige som er i besittelse av dette verdifulle talentet. De ser ingen feil i mengdelæren. Nå har ikke denne mangelen hemmet meg så veldig, jeg har tross alt utgitt 18 artikler i internasjonale tidsskrifter (ikke alle disse er riktignok i matematikk).
-
John Einbu
- Noether
- Innlegg: 33
- Registrert: 05/01-2016 10:55
Til plutarco
I ditt innlegg av 3/1 2016 beviser du at desimaltallene mellom 0 og 1 er utellbare, dvs. at det ikke er mulig å finne en ordning hvor alle disse tallene vil forekomme. På min blogg john.einbu.no vil du finne i innlegget med tittelen mot-en-paradoksfri-mengdelaere-del-2 en ordning hvor etter min menig alle disse tallene finnes. Hvis du er uenig, så vil jeg gjerne at du skal fortelle meg hvilket desimaltall som mangler. Hvis du ikke klarer å finne et slikt tall, eller i det minste bevise at et slikt tall finnes, så må diagonalmetoden være feil.
Så snart jeg får tid skal jeg også kommentere ditt innlegg av 17/1. Ellers synes jeg du er en behagelig diskusjonspartner. Du konsentrerer deg om matematikken og har ikke noe behov for å uttrykke hva du mener om dine motstandere. Da kommer diskusjonen inn i det sporet som jeg etterlyste i et tidligere innlegg. For hvis man selv er saklig, så får man også saklige svar. Vi blir nok ikke enige om selve saken, men vi får i alle fall en god forståelse av hva vi er uenige om.
I ditt innlegg av 3/1 2016 beviser du at desimaltallene mellom 0 og 1 er utellbare, dvs. at det ikke er mulig å finne en ordning hvor alle disse tallene vil forekomme. På min blogg john.einbu.no vil du finne i innlegget med tittelen mot-en-paradoksfri-mengdelaere-del-2 en ordning hvor etter min menig alle disse tallene finnes. Hvis du er uenig, så vil jeg gjerne at du skal fortelle meg hvilket desimaltall som mangler. Hvis du ikke klarer å finne et slikt tall, eller i det minste bevise at et slikt tall finnes, så må diagonalmetoden være feil.
Så snart jeg får tid skal jeg også kommentere ditt innlegg av 17/1. Ellers synes jeg du er en behagelig diskusjonspartner. Du konsentrerer deg om matematikken og har ikke noe behov for å uttrykke hva du mener om dine motstandere. Da kommer diskusjonen inn i det sporet som jeg etterlyste i et tidligere innlegg. For hvis man selv er saklig, så får man også saklige svar. Vi blir nok ikke enige om selve saken, men vi får i alle fall en god forståelse av hva vi er uenige om.
Jeg har lest innlegget ditt nå. For å svare på spørsmålet ditt er det nok å gjenta diagonalmetoden: et eksempel på et tall som mangler i ordningen din av desimaltall mellom 0 og 1 er tallet $0.a_1a_2...a_n...$ definert ved at $a_n $ er forskjellig fra n-te desimal i det n-te tallet i ordningen din, for alle n. Eller påstår du at dette tallet fins i ordningen? I så fall bør du kunne forutsi hvilket nummer i ordningen dette tallet er.(?) (Jeg regner med at svaret ditt på dette spørsmålet er uendelig, men at du vil fortsette å påstå at tallet er med i ordningen.)John Einbu skrev:Til plutarco
I ditt innlegg av 3/1 2016 beviser du at desimaltallene mellom 0 og 1 er utellbare, dvs. at det ikke er mulig å finne en ordning hvor alle disse tallene vil forekomme. På min blogg john.einbu.no vil du finne i innlegget med tittelen mot-en-paradoksfri-mengdelaere-del-2 en ordning hvor etter min menig alle disse tallene finnes. Hvis du er uenig, så vil jeg gjerne at du skal fortelle meg hvilket desimaltall som mangler. Hvis du ikke klarer å finne et slikt tall, eller i det minste bevise at et slikt tall finnes, så må diagonalmetoden være feil.
En annen ting jeg merker meg er at ordningen du foreslår egentlig bare består av desimaltall med endelig antall desimaler ulik 0. (riktignok er dette endelig antallet desimaler ubegrenset.) Du sier at du lar antall desimaler gå mot uendelig, men dette betyr ikke nødvendigvis at alle desimaltall mellom 0 og 1 med uendelig antall desimaler ulik 0 er med. Hva er i så fall beviset for at alle desimaltallene mellom 0 og 1 er med i ordningen? Jeg har til gode å se et slikt bevis.
-
John Einbu
- Noether
- Innlegg: 33
- Registrert: 05/01-2016 10:55
Til plutarco
Den 17/11 skriver du:
I mitt blogginnlegg med tittel mot-en-paradoksfri-mengdelaere-del-3 introduserer jeg et symbolsystem av tall-liknende symboler hvor ...4545 og ...5454 er to av elementene. Til å begynne med sier jeg ikke at disse symbolene er tall, men jeg sier at hvis vi danner unionen av alle endelige heltall og alle mulige symboler i dette nye symbolsystemet, så ser vi at vi kan avbilde alle desimaltallene mellom 0 og 1 på denne unionen. Desimaltallet 0.649 vil da kunne avbildes på heltallet 946 og desimaltallet 0.1234… kan avbildes på symbolet …4321. Spørsmålet da er om dette symbolsystemet + alle endelige heltall kan representere mengden av alle heltall, både endelige og uendelige. Dette er du uenig i for som du sier, man kan ikke vite hvilket av de to tallene ...4545 og ...5454 som er størst. Men er det et krav om man skal vite alt om tall-liknende uttrykk for at det skal godkjennes som tall? Det er det ikke. Vi vet egentlig ikke så mye om desimaltallet 0.4545… heller. Vi vet for eksempel ikke hva det n-te sifferet er for n større enn 4. Men på tross av det, så vil ingen nekte for at dette er et genuint tall. Og grunnen til at vi ikke vet hvilket av de to tallsymbolene ...4545 og ...5454 som er størst er jo at vi ikke vet hvordan de er dannet. Hvis vi for eksempel vet at …5454 = …4545 + 909, så vet vi plutselig hvilket som er størst. Så det er mulig å sammenligne størrelsen på to tallsymboler hvis man vet hvordan de er dannet. Og hvis en matematiker i en eller annen sammenheng tar for seg to tilfeldige, endelige tall n og m, kan vi da ikke oppfatte disse symbolene som tall før vi får vite hvilket av de to som er størst. Svaret på det er selvfølgelig nei.
Og å si at for eksempel …19053 ikke kan være et tall blir også vanskelig å begrunne siden 0.35091… er et legitimt tall. Ved å la disse symbolene være tall, så oppnår vi symmetri i tallsystemet, og symmetri er ofte noe etterstrebelsesverdig både i matematikken og vitenskapen for øvrig.
Jeg vet selvfølgelig at disse nye tall-liknende symbolene ikke aksepteres i dagens matematikk. Men i det tallsystemet som assosieres med min foreslåtte mengdelære så representerer disse symbolene de uendelige heltallene. I denne mengdelæren er det da nøyaktig like mange desimaltall mellom 0 og 1 som det er heltall. I motsetning til hva Cantor mener. Dessuten forekommer ikke tallet ∞ i dette tallsystemet, og vi har ikke at ∞ + 1 = ∞ og 2 * ∞ = ∞. Og dette siste er da heller ikke særlig selvinnlysende.
Så kan man spørre om man kan utvikle en ny matematikk med denne representasjonen av uendelige tall og om denne matematikken er konsistent. Til det vil du kanskje svare, at med din innsikt kan du umiddelbart se at dette vil være en blindgate og at denne matematikk ikke vil gi noen interessante resultater. Men kan dette skyldes at du er så vant til en matematikk med bare ett uendelig tall, at du ikke kan tenke deg noe annet? For vi har jo allerede påvist et par interessante resultater i den foreslåtte matematikken, nemlig de som er nevnt i det forrige avsnittet. En tredje positiv egenskap er at vi får symmetri i tallsystemet. Jeg foreslår at du og de andre debattantene reflekterer litt over dette nye tallsystemet før dere feller den endelige dom og først prøver å finne ut litt mer om dette systemet. Kanskje det ikke er så ille som dere tror.
Når det gjelder ditt siste innlegg, så får vi bare konstatere følgende: Du tror fremdeles på Cantors diagonalmetode. Jeg tror ikke på den og har gitt et bevis for at den er feil. Dette beviset tror ikke du på. Vi kommer da ikke lenger her, så vi får bare gå videre med andre problemer.
Den 17/11 skriver du:
Ja, det er dette som er det kritiske spørsmålet. Hvis en dannelse av en uendelig mengde aldri tar slutt, så kan man ikke snakke om at denne uendelige mengden finnes. For da kan den jo ikke dannes. Det er jo her den mengdelæren som jeg foreslått skiller seg fra Cantors. Jeg mener at elementer det er uendelig mange av aldri kan danne en mengde, mens Cantor mener at slike mengder finnes. Men når han mener at de finnes, så må han også mene at dannelsen av mengden kan avsluttes. Men hvis dannelsen kan avsluttes, og elementene er heltall, ja så må det siste heltallet som føyes til mengden (hvis dannelsen skjer i oppadstigende rekkefølge) være det absolutt største heltallet. Men det mener Cantor ikke finnes. Altså en selvmotsigelse.Einbu. Hvorfor har du så vanskelig for å akseptere samlingen av naturlige tall som en mengde? Det virker som du henger deg opp i at dannelsen av N, ved å føye til ett og ett tall, ikke har en ende? Jeg forstår ikke hvorfor dette skal være et problem. Det er klart at N inneholder alle endelige positive heltall, og at ethvert endelig tall vil bli inkludert i denne dannelsesprosessen som du beskriver. Hva så om dannelsen aldri har noen ende?
I mitt blogginnlegg med tittel mot-en-paradoksfri-mengdelaere-del-3 introduserer jeg et symbolsystem av tall-liknende symboler hvor ...4545 og ...5454 er to av elementene. Til å begynne med sier jeg ikke at disse symbolene er tall, men jeg sier at hvis vi danner unionen av alle endelige heltall og alle mulige symboler i dette nye symbolsystemet, så ser vi at vi kan avbilde alle desimaltallene mellom 0 og 1 på denne unionen. Desimaltallet 0.649 vil da kunne avbildes på heltallet 946 og desimaltallet 0.1234… kan avbildes på symbolet …4321. Spørsmålet da er om dette symbolsystemet + alle endelige heltall kan representere mengden av alle heltall, både endelige og uendelige. Dette er du uenig i for som du sier, man kan ikke vite hvilket av de to tallene ...4545 og ...5454 som er størst. Men er det et krav om man skal vite alt om tall-liknende uttrykk for at det skal godkjennes som tall? Det er det ikke. Vi vet egentlig ikke så mye om desimaltallet 0.4545… heller. Vi vet for eksempel ikke hva det n-te sifferet er for n større enn 4. Men på tross av det, så vil ingen nekte for at dette er et genuint tall. Og grunnen til at vi ikke vet hvilket av de to tallsymbolene ...4545 og ...5454 som er størst er jo at vi ikke vet hvordan de er dannet. Hvis vi for eksempel vet at …5454 = …4545 + 909, så vet vi plutselig hvilket som er størst. Så det er mulig å sammenligne størrelsen på to tallsymboler hvis man vet hvordan de er dannet. Og hvis en matematiker i en eller annen sammenheng tar for seg to tilfeldige, endelige tall n og m, kan vi da ikke oppfatte disse symbolene som tall før vi får vite hvilket av de to som er størst. Svaret på det er selvfølgelig nei.
Og å si at for eksempel …19053 ikke kan være et tall blir også vanskelig å begrunne siden 0.35091… er et legitimt tall. Ved å la disse symbolene være tall, så oppnår vi symmetri i tallsystemet, og symmetri er ofte noe etterstrebelsesverdig både i matematikken og vitenskapen for øvrig.
Jeg vet selvfølgelig at disse nye tall-liknende symbolene ikke aksepteres i dagens matematikk. Men i det tallsystemet som assosieres med min foreslåtte mengdelære så representerer disse symbolene de uendelige heltallene. I denne mengdelæren er det da nøyaktig like mange desimaltall mellom 0 og 1 som det er heltall. I motsetning til hva Cantor mener. Dessuten forekommer ikke tallet ∞ i dette tallsystemet, og vi har ikke at ∞ + 1 = ∞ og 2 * ∞ = ∞. Og dette siste er da heller ikke særlig selvinnlysende.
Så kan man spørre om man kan utvikle en ny matematikk med denne representasjonen av uendelige tall og om denne matematikken er konsistent. Til det vil du kanskje svare, at med din innsikt kan du umiddelbart se at dette vil være en blindgate og at denne matematikk ikke vil gi noen interessante resultater. Men kan dette skyldes at du er så vant til en matematikk med bare ett uendelig tall, at du ikke kan tenke deg noe annet? For vi har jo allerede påvist et par interessante resultater i den foreslåtte matematikken, nemlig de som er nevnt i det forrige avsnittet. En tredje positiv egenskap er at vi får symmetri i tallsystemet. Jeg foreslår at du og de andre debattantene reflekterer litt over dette nye tallsystemet før dere feller den endelige dom og først prøver å finne ut litt mer om dette systemet. Kanskje det ikke er så ille som dere tror.
Når det gjelder ditt siste innlegg, så får vi bare konstatere følgende: Du tror fremdeles på Cantors diagonalmetode. Jeg tror ikke på den og har gitt et bevis for at den er feil. Dette beviset tror ikke du på. Vi kommer da ikke lenger her, så vi får bare gå videre med andre problemer.
Hva mener du egentlig med "dannes"? At vi skal kunne produsere denne mengden i det virkelige liv?Hvis en dannelse av en uendelig mengde aldri tar slutt, så kan man ikke snakke om at denne uendelige mengden finnes. For da kan den jo ikke dannes.
-
John Einbu
- Noether
- Innlegg: 33
- Registrert: 05/01-2016 10:55
Aleks855 spør hva jeg mener med at en uendelig mengde dannes. Han spør om jeg mener «At vi skal kunne produsere denne mengden i det virkelige liv»? Dette trigger et annet og mer interessant spørsmål som jeg hittil ikke har tenkt på. Spørsmålet er om man fritt kan operere på en matematisk konstruksjon, uten å opplyse om hvordan denne konstruksjon er dannet. Eller at man vet at det er alminnelig kjent at konstruksjonen kan dannes. Ja, vil enkelte svare, Cantor gjorde jo det, han opererte på uendelige mengder uten å beskrive hvordan disse kan dannes. Men Cantor har tatt feil på så mye annet, så kanskje han tok feil her også. Hvis det viser seg at uendelige mengder ikke kan dannes på noen slags måte, så er det spørsmål om ikke Cantor brøt en matematisk lov når han utleder alle sine egenskaper om uendelige mengder.
La oss ta et annet eksempel. La oss tenke oss at jeg sier: «Jeg tenker meg nå en vinkel som er delt i tre like store vinkler med en passer og en linjal». La oss videre forestille oss at jeg utleder et overraskende og ukjent resultat i mitt videre resonnement om denne vinkelen. Ville de som leser dette trodd på dette resultatet? Nei, det ville de helt sikkert ikke, fordi de vet at det ikke er mulig å tredele en vinkel med passer og linjal. Så man kan ikke i matematikken bare anta at noe eksisterer og deretter trekke slutninger av det, og vente at noen skal tro på det, i alle fall hvis man ikke kan være sikker på at det man tror eksisterer virkelig eksisterer.
Så tilbake til Cantor igjen. Hvis det viser seg at det ikke er mulig å danne en uendelig mengde, så kan vi ikke ha tillit til noe av det som Cantor utledet på basis av den forutsetning at uendelige mengder finnes. Så Cantor må derfor fortelle oss hvordan uendelige mengder kan dannes, før vi vi kan tro på hans utledninger. Og så lenge han ikke gjør det, så er hans resultater helt uinteressante.
Jeg har i et tidligere innlegg prøvd å tenke meg et par måter en uendelig mengde kan dannes på, men ingen av disse førte frem. Så inntil en av leserne av dette innlegget beskriver en slik måte, så nekter jeg å tro på Cantors mengdelære.
Jeg håper Aleks855 vil finne svar på sitt spørsmål i det jeg har skrevet her. Jeg mener selvfølgelig ikke at mengden det dreier seg om skal dannes fysisk, men at man skal kunne tenke seg hvordan den kan dannes. Det er dette som er det springende punktet. Jeg takker Aleks855 for innspillet.
La oss ta et annet eksempel. La oss tenke oss at jeg sier: «Jeg tenker meg nå en vinkel som er delt i tre like store vinkler med en passer og en linjal». La oss videre forestille oss at jeg utleder et overraskende og ukjent resultat i mitt videre resonnement om denne vinkelen. Ville de som leser dette trodd på dette resultatet? Nei, det ville de helt sikkert ikke, fordi de vet at det ikke er mulig å tredele en vinkel med passer og linjal. Så man kan ikke i matematikken bare anta at noe eksisterer og deretter trekke slutninger av det, og vente at noen skal tro på det, i alle fall hvis man ikke kan være sikker på at det man tror eksisterer virkelig eksisterer.
Så tilbake til Cantor igjen. Hvis det viser seg at det ikke er mulig å danne en uendelig mengde, så kan vi ikke ha tillit til noe av det som Cantor utledet på basis av den forutsetning at uendelige mengder finnes. Så Cantor må derfor fortelle oss hvordan uendelige mengder kan dannes, før vi vi kan tro på hans utledninger. Og så lenge han ikke gjør det, så er hans resultater helt uinteressante.
Jeg har i et tidligere innlegg prøvd å tenke meg et par måter en uendelig mengde kan dannes på, men ingen av disse førte frem. Så inntil en av leserne av dette innlegget beskriver en slik måte, så nekter jeg å tro på Cantors mengdelære.
Jeg håper Aleks855 vil finne svar på sitt spørsmål i det jeg har skrevet her. Jeg mener selvfølgelig ikke at mengden det dreier seg om skal dannes fysisk, men at man skal kunne tenke seg hvordan den kan dannes. Det er dette som er det springende punktet. Jeg takker Aleks855 for innspillet.
Til Einbu
I "Mot en paradoksfri mengdelære – del 2", beskriver du en mulig ordning av desimaltallene ved å legge til en og en desimal. Jeg merker meg også at du sier at mengden av naturlige tall ikke fins fordi den ikke kan dannes på en "endelig" måte ved å legge til ett og ett tall. Den ordningen du beskriver lider vel av nøyaktig samme problem, nemlig at den ikke, ifølge deg, kan dannes, på samme måte som de naturlige tall ikke kan dannes? Hvis vi da følger logikken vil det si at ordningen du foreslår heller ikke fins. Har du noen kommentar til dette?
I "Mot en paradoksfri mengdelære – del 2", beskriver du en mulig ordning av desimaltallene ved å legge til en og en desimal. Jeg merker meg også at du sier at mengden av naturlige tall ikke fins fordi den ikke kan dannes på en "endelig" måte ved å legge til ett og ett tall. Den ordningen du beskriver lider vel av nøyaktig samme problem, nemlig at den ikke, ifølge deg, kan dannes, på samme måte som de naturlige tall ikke kan dannes? Hvis vi da følger logikken vil det si at ordningen du foreslår heller ikke fins. Har du noen kommentar til dette?
-
John Einbu
- Noether
- Innlegg: 33
- Registrert: 05/01-2016 10:55
Til plurarco
Jeg ser poenget ditt og du tenker for så vidt helt riktig. Jeg er glad for at du er åpen for å diskutere på mine premisser. Men det er likevel en ting som gjør at jeg ikke kan slutte meg til det du skriver. I det blogginnlegget du referer til (del 2) befinner jeg meg i Cantors mengdelære - poenget med innlegget er jo å vise at Cantor tar feil - og i den lære vil den prosessen det dreier seg om ta slutt. Men i den alternative mengdelære vil, som du hevder, den aktuelle ordningen ikke kunne dannes, fordi danningen aldri vil ta slutt.
Jeg ser poenget ditt og du tenker for så vidt helt riktig. Jeg er glad for at du er åpen for å diskutere på mine premisser. Men det er likevel en ting som gjør at jeg ikke kan slutte meg til det du skriver. I det blogginnlegget du referer til (del 2) befinner jeg meg i Cantors mengdelære - poenget med innlegget er jo å vise at Cantor tar feil - og i den lære vil den prosessen det dreier seg om ta slutt. Men i den alternative mengdelære vil, som du hevder, den aktuelle ordningen ikke kunne dannes, fordi danningen aldri vil ta slutt.
-
John Einbu
- Noether
- Innlegg: 33
- Registrert: 05/01-2016 10:55
Det ser ut til at tiden er inne for å avslutte denne diskusjonen. Vi har nå fått avklart hva vi er uenige om, men siden ingen synes å være villig til å undersøke hvilke egenskaper en matematikk med den foreslåtte nye mengdelæren vil ha, så oppnår vi trolig ikke noe ved å fortsette. Nå var det vel gitt på forhånd at matematikere som har lest om Cantors mengdelære uten å stille et eneste spørsmål ved om noe var galt ved denne læren, blir kraftig provosert av at noen påviser en rekke ulogisk og usannsynlig egenskaper ved denne lære. De vil føle seg flaue over at de selv ikke oppdaget disse problematiske sidene ved teorien. De vil føle at ved å gi den alternative mengdelære en sjanse, vil de indirekte innrømme at de selv har vært litt lettroende og ukritiske. Derfor blir det maktpåliggende for disse å finne feil i den konkurrerende teorien. I mange av innleggene i denne debatten skinner dette igjennom. Ikke en eneste liten innrømmelse vil man finne i denne debatten, om at det kanskje er noe ved Cantors mengdelære som skurrer. Så skal man ha en sjanse for å få noen til å ta den alternative mengdelære alvorlig, må man henvende seg til slike som ikke har lest eller gjort seg opp noen mening om Cantors mengdelære på forhånd. Man må altså starte med studenter.
Nå er jeg ikke alene i Norge som stiller seg tvilende til mengdelæren. Som jeg har nevnt i et tidligere innlegg har jeg hatt kontakt med flere matematikkinteresserte i Norge som deler mitt syn på læren. Jeg kjenner ikke til bakgrunn og posisjon til alle disse, men en av dem er matematikk-lærer ved en av Norges høyskoler. (Senest for noen dager siden fikk jeg forresten en bestilling på mine to bøker om matematikk fra en som hadde lånt bøkene i et bibliotek og lest dem, men som likevel ønsket å ha dem i sin bokhylle.) De fleste av disse hadde denne skeptiske oppfatning om læren før de fikk kjennskap til mine bøker. Så det finnes altså et lite mindretall matematikk-interesserte som av naturen er skrudd sammen slik at vi setter spørsmål ved autorisert matematikk hvis den virker suspekt. Vi godtar altså ikke uten videre alt som de matematiske autoritetene påstår, slik som flertallet gjør. Nå er nok dette gen-styrt. Vi som tilhører et lite mindretall har en gen-variant som disponerer oss til å tvile på ting vi leser og som virker ulogiske. Mens det store flertallet godtar dette. Nå er nok flertallets gen-variant det mest verdifulle utviklingshistorisk sett. Det er jo derfor den dominerer. Vi kjenner til fra historien hva som har skjedd med mennesker som kom i opposisjon til autoriteter og myndigheter. Og i diktaturstater kan det fremdeles være livsfarlig å ha meninger som autoritetene ikke liker. Så de som tilhører det ovenfor nevnte flertallet kan kanskje takke denne gen-varianten for at de lever i dag.
Nå kan man si at det er ingen risiko forbundet med å ha mindretallets gen-variant i Norge i dag. Nei, man risikerer ikke å miste livet. Men man kan ødelegge sine karrieremuligheter ved de matematiske institutter ved norske universiteter med denne varianten.
Det finnes altså blant verdens matematikere et sted mellom 95 og 100 % som tror fullt og fast på Cantors mengdelære. Er ikke det et tilstrekkelig bevis for at denne lære må være riktig? For det er jo toppintelligente mennesker som tror på dette. Så, man skulle kanskje tro at dette var en sikker metode for å skille mellom sant og usant. Men en gang i tiden trodde 100 % av alle menneskene at solen gikk i bane rundt jorden, mens det kun var et eneste menneske, Kopernikus, som mente at dette var feil og at det var jorden som roterte. Og så viste det seg at han fikk rett. Så å spørre hva flertallet mener er ikke alltid en sikker metode for å finne sannheten.
Og vi kan også se på troen på guder. For 4 generasjoner siden, la oss si på slutten av 1800-tallet, trodde et stort flertall i Norge og verden for øvrig på at guder fantes. Og mange av disse kunne ha høy intelligens. Tippoldeforeldrene til dagens matematikere kunne være blant disse. Og de ateister og fritenkere som den gang forsøkte å argumentere for at for eksempel den kristne guden ikke fantes, ble blant de religiøse møtt med den samme uvilje, som jeg blir møtt med i denne debatten om muligheten for at det finnes en alternativ mengdelære. Igjen så viste det seg at flertallet tok feil. Det finnes neppe noen guder.
Nå er jeg ikke alene i Norge som stiller seg tvilende til mengdelæren. Som jeg har nevnt i et tidligere innlegg har jeg hatt kontakt med flere matematikkinteresserte i Norge som deler mitt syn på læren. Jeg kjenner ikke til bakgrunn og posisjon til alle disse, men en av dem er matematikk-lærer ved en av Norges høyskoler. (Senest for noen dager siden fikk jeg forresten en bestilling på mine to bøker om matematikk fra en som hadde lånt bøkene i et bibliotek og lest dem, men som likevel ønsket å ha dem i sin bokhylle.) De fleste av disse hadde denne skeptiske oppfatning om læren før de fikk kjennskap til mine bøker. Så det finnes altså et lite mindretall matematikk-interesserte som av naturen er skrudd sammen slik at vi setter spørsmål ved autorisert matematikk hvis den virker suspekt. Vi godtar altså ikke uten videre alt som de matematiske autoritetene påstår, slik som flertallet gjør. Nå er nok dette gen-styrt. Vi som tilhører et lite mindretall har en gen-variant som disponerer oss til å tvile på ting vi leser og som virker ulogiske. Mens det store flertallet godtar dette. Nå er nok flertallets gen-variant det mest verdifulle utviklingshistorisk sett. Det er jo derfor den dominerer. Vi kjenner til fra historien hva som har skjedd med mennesker som kom i opposisjon til autoriteter og myndigheter. Og i diktaturstater kan det fremdeles være livsfarlig å ha meninger som autoritetene ikke liker. Så de som tilhører det ovenfor nevnte flertallet kan kanskje takke denne gen-varianten for at de lever i dag.
Nå kan man si at det er ingen risiko forbundet med å ha mindretallets gen-variant i Norge i dag. Nei, man risikerer ikke å miste livet. Men man kan ødelegge sine karrieremuligheter ved de matematiske institutter ved norske universiteter med denne varianten.
Det finnes altså blant verdens matematikere et sted mellom 95 og 100 % som tror fullt og fast på Cantors mengdelære. Er ikke det et tilstrekkelig bevis for at denne lære må være riktig? For det er jo toppintelligente mennesker som tror på dette. Så, man skulle kanskje tro at dette var en sikker metode for å skille mellom sant og usant. Men en gang i tiden trodde 100 % av alle menneskene at solen gikk i bane rundt jorden, mens det kun var et eneste menneske, Kopernikus, som mente at dette var feil og at det var jorden som roterte. Og så viste det seg at han fikk rett. Så å spørre hva flertallet mener er ikke alltid en sikker metode for å finne sannheten.
Og vi kan også se på troen på guder. For 4 generasjoner siden, la oss si på slutten av 1800-tallet, trodde et stort flertall i Norge og verden for øvrig på at guder fantes. Og mange av disse kunne ha høy intelligens. Tippoldeforeldrene til dagens matematikere kunne være blant disse. Og de ateister og fritenkere som den gang forsøkte å argumentere for at for eksempel den kristne guden ikke fantes, ble blant de religiøse møtt med den samme uvilje, som jeg blir møtt med i denne debatten om muligheten for at det finnes en alternativ mengdelære. Igjen så viste det seg at flertallet tok feil. Det finnes neppe noen guder.