matematikk.net

En homogen kule som ruller uten å gli, har i tillegg til vanlig kinetisk energi 1/2mv^2 også en rotasjonsenergi som er gitt ved utrrykket 1/5 mv^2, der v er farten til kulesenteret. Vi slipper en kule som begynner å rulle nedover et skråplan med hellingsvinkelen 30 grader. vi forutsetter at den totale mekansike energien er bevart, og at akselerasjonen til kulas sentrum er konstant.
Hvor stor er farten etter at kula har tilbakelagt strekningen 1.50 m langs skråplanet? Bestem akselerasjonen til kulesenteret nedover skråplanet

1/5mv^2+1/2mv^2[tex]1/5mv^2+1/2mv^2-mgh=1/2mv_{0}^2+mgh_{0}^2[/tex]

Løysingforslag:

Finn farta( v ) til massesenteret etter at kula har trilla veglengda s = 1.5 meter.

Tapet i potensiell energi [tex]\left | \bigtriangleup E_{p} \right |[/tex] = m[tex]\cdot[/tex]g[tex]\cdot[/tex]s[tex]\cdot[/tex] sin30[tex]^{0}[/tex] = 0.5 [tex]\cdot[/tex] m [tex]\cdot[/tex] g [tex]\cdot[/tex] s

Sum rørsleenergi ( translasjon + rotasjon ): [tex]\sum[/tex]E[tex]_{k}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex]mv[tex]^{2}[/tex] + [tex]\frac{1}{5}[/tex]m v[tex]^{2}[/tex] = [tex]\frac{7}{10}[/tex] m v[tex]^{2}[/tex]

Energivurdering( basert på at total mek. energi er bevart ):

[tex]\sum[/tex]E[tex]_{k}[/tex] = [tex]\left | \bigtriangleup E_{p} \right |[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

( * ) [tex]\frac{7}{10}[/tex] m v[tex]^{2}[/tex] = 0.5 m g s

Løys likninga ( * ) med omsyn på v , og du er i mål .

Finn akselerasjonen ( a ) til massesenteret:

Deriverer V.S. og H.S. i likninga ( * ) med omsyn på tida( t ). Da får vi ( etter å ha " fjerna " massen ( m ) )

[tex]\frac{7}{10}[/tex] [tex]\cdot[/tex] 2v [tex]\cdot[/tex] [tex]\frac{dv}{dt}[/tex] = 0.5 g [tex]\frac{ds}{dt}[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] ( [tex]\frac{dv}{dt}[/tex] = a og [tex]\frac{ds}{dt}[/tex] = v )

[tex]\frac{7}{10}[/tex][tex]\cdot[/tex] 2v [tex]\cdot[/tex] a = 0.5 g [tex]\cdot[/tex] v

[tex]\Rightarrow[/tex] ( stryk v på begge sider ) [tex]\frac{14}{10}[/tex] a = 0.5 g [tex]\Rightarrow[/tex]

a = [tex]\frac{5}{14}[/tex] g