matematikk.net

a) $101$ punkter ligger plassert tilfeldig innenfor et kvadrat med sidelengder $1$. Vis at det må eksistere tre punkter som danner en trekant med areal mindre eller lik $0.01$.

b) Vi fargelegger planet med 2 ulike farger. Vis at det må eksistere to punkter av samme farge med avstand 1.

c) (vanskelig?) Vi fargelegger planet med 3 ulike farger. Vis at det må eksistere to punkter av samme farge med avstand 1.

b) Farger planet hvitt og blått, og antar der ikke finnes to punkter av samme farge med avstand 1.

Om vi har et hvitt punkt, må da alle punkter med avstand 1 til punktet være blå. Dermed har vi en blå sirkel med radius 1 om et hvitt punkt. Bare periferien er farget.
Om vi ser på et punkt på periferien til denne sirkelen, må da det punktet ha en hvit sirkel med radius 1 om seg.
Sirklene vil skjære hverandre. Uansett farge på skjæringspunktene vil de ha et punkt med lik farge og avstand 1, nemlig sentrum i ett av sirklene, som motsier antagelsen.

Flott!

a)
Del kvadratet opp i 50 identiske rektangler. Disse vil ha sidelengder $\frac{1}{5}=0.2$ og $\frac{1}{10} = 0.1$. Siden vi har $101$ punkter må det være minst ett rektangel med $3$ punkter av dueboksprinsippet. Det maksimale arealet i dette rektangelet får vi når to punkter ligger i hvert sitt hjørne på samme linje, og det siste punktet ligger et sted på linjen over. Da er $A_{maks} = \frac{0.1 \cdot 0.2}{2} = 0.1^2 = 0.01$, som vil si at vi alltid har en trekant med areal mindre eller lik $0.01$, og dette vi ønsket å vise.