matematikk.net

La $R$ være en ring, og la $C=\{x\in R: xy=yx \quad\forall y\in R\}$. Vis at dersom $x^2-x\in C\quad\forall x\in R$, så er $R$ kommutativ.

$1$ kommuterer med alle elementene i $R$, og for $x\neq 1,y\in R$ så er
\[ (x^2-x)y=y(x^2-x)\iff (x-1)(xy-yx)=0\implies xy=yx. \]

stensrud skrev:$1$ kommuterer med alle elementene i $R$, og for $x\neq 1,y\in R$ så er
\[ (x^2-x)y=y(x^2-x)\iff (x-1)(xy-yx)=0\implies xy=yx. \]

Ser ikke helt hvordan du får de implikasjonene. Den siste gjelder vel kun for heltallsdomener, og den første forutsetter at $xy=yx$, noe du skal bevise.

Gustav skrev: Ser ikke helt hvordan du får de implikasjonene. Den siste gjelder vel kun for heltallsdomener, og den første forutsetter at $xy=yx$, noe du skal bevise.

Hoooppsann, gikk litt fort i svingene der... Skal se om jeg får fiksa det litt senere.

Hint:

[+] Skjult tekst

Vis at $xy+yx\in C$ for alle $x,y\in R$, og deretter at $x^2\in C$ for alle $x\in R$

1. $(x^2-x)y=y(x^2-x) \ \ \Leftrightarrow \ \ x^2 y-yx^2=xy-yx$
2. $(y^2-y)x=x(y^2-y) \ \ \Leftrightarrow \ \ y^2 x-xy^2=yx-xy$
3. $((x-y)^2-(x-y))y=y((x-y)^2-(x-y)) \ \Leftrightarrow \ \ (x^2 y-yx^2)+(y^2 x-x^2)=xy-yx \ \Rightarrow \ \ 0=xy-yx$

Ser bra ut!

Løste den for øvrig selv slik:

Lemma: $a,b\in C\Rightarrow a+b\in C$. Bevis: $ay=ya, by=yb\Rightarrow ay+by=ya+yb\Rightarrow (a+b)y=y(a+b)$. Likedan vil $a,a+b\in C\Rightarrow b\in C$.

Nå er $(x+y)^2-(x+y)\in C\Rightarrow (x^2-x)+(y^2-y)+xy+yx\in C$. Fra lemmaet vil derfor $xy+yx\in C$. Dermed er $(xy+yx)x=x(xy+yx)\Rightarrow x^2y=yx^2\Rightarrow x^2\in C$.

Til slutt er $(x^2-x)y=y(x^2-x)\Rightarrow xy=yx$.

En liten oppfølger:

La $R$ være en ring der $x^2=x \ \ \forall x \in R$. Vis at $2x=0$.

zzzivert skrev:En liten oppfølger:

La $R$ være en ring der $x^2=x \ \ \forall x \in R$. Vis at $2x=0$.

Denne var vel ganske triviell. $(2x)^2=2x\Rightarrow 4x^2=2x\Rightarrow 4x=2x\Rightarrow 2x=0$

Oppfølger:

La $a,b$ være elementer i en gruppe med identitet $e$, slik at

1. $aba=ba^2b$,
2. $a^3=e$ og
3. $b^{2n-1}=e$ for et positivt heltall $n$.

Vis at $b=e$.

1. $b^2 a=ab^2$
Bevis:
$(aba)^3=aba^2 ba^2 ba=a(aba)a^2 ba=a^2 b^2 a$
$(aba)^3=aba^2 ba^2 ba=aba^2(aba)a=a b^2 a^2$
så $a^2b^2a=ab^2a^2$ og derfor $b^2a=a^2b^2a^2=ab^2$

2. $a^2ba=b^3$
Bevis:
$(aba)^{3n}=(ba^2b)^{3n}$
$(aba)^{3n}=((aba)^3)^n=(a^2b^2a)^n=a^2b^{2n}a=a^2ba$
$(ba^2b)^{3n}=ba^2b^2\cdots b^2a^2b=ba^{6n}b^{6n-1}=b^{6n}=b^3$ på grunn av (1).

3. $b=e$
Bevis:
$a^2ba=b^3 \ \ \Rightarrow \ \ ba^2ba=b^4 \ \ \Rightarrow \ \ aba^2=b^4 \ \ \Rightarrow \ \ a^2ba=b^5$
Fortsetter vi videre slik, kommer vi til $a^2ba=b^{2n-1}=e$.
$a^2ba=b^{2n-1}=e \ \ \Rightarrow \ \ ba=a \ \ \Rightarrow \ \ b=a^3=e$