matematikk.net

Betrakt ni punkt i rommet, slik at alle de ni punktene har heltallskoordinater. Tegn så linjestykker slik at du kobler alle par av punkter. Vis at det må eksistere et punkt på innsiden (dvs. ikke randen) til et av disse linjestykkene som også har heltallskoordinater.

La punktene hete [tex](x_{1}, y_{1}, z_{1}) \dots (x_9,y_9,z_9), (x_i,y_i,z_i) \in \mathbb{Z}^3[/tex] for [tex]1\leq i \leq 9[/tex].

Dersom vi ser på forskjellige kombinasjoner av paritetene til de tre komponentene, ser vi at x, y og z kan alle være par tall eller odde tall, og vi har derfor [tex]2^3 = 8[/tex] kombinasjoner av paritetene. Siden vi har 9 punkter, må det eksistere minst to punkter som har samme kombinasjon.

Anta wlog at dette er punktene [tex](x_1,y_1,z_1)[/tex] og [tex](x_2,y_2,z_2)[/tex]. Siden [tex]x_1[/tex] og [tex]x_2[/tex] har samme paritet, vet vi at [tex]x_2 + x_1[/tex] er et partall, og det samme gjelder for [tex]y_2 + y_1[/tex] og [tex]z_2+z_1[/tex]. Da vet vi at midtpunktet på linjestykket mellom [tex](x_1,y_1,z_1)[/tex] og [tex](x_2,y_2,z_2)[/tex] har heltallige koordinater, nemlig [tex]( \frac{x_1 +
x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2})[/tex]

Perfekt!