matematikk.net

Finn alle funksjoner $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ som har egenskapen at for alle $x_1,x_2$ så gjelder ulikheten $f(x_1)-f(x_2)\leq (x_1-x_2)^2$.

plutarco skrev:Finn alle funksjoner $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ som har egenskapen at for alle $x_1,x_2$ så gjelder ulikheten $f(x_1)-f(x_2)\leq (x_1-x_2)^2$.

Ved å bytte $x_1$ og $x_2$ ser vi at $|f(x_1) - f(x_2)| \leq (x_1 - x_2)^2$. $\therefore \left|\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}\right| \leq |x_1 - x_2|,$ så
$$\left|\lim_{x_1 \rightarrow x_2}\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}\right| \leq \left|\lim_{x_1 \rightarrow x_2}(x_1 - x_2)\right| = 0.$$ Derfor er $f$ deriverbar, med $f' = 0$, så den eneste muligheten er at $f$ er konstant. Ettersom konstante funksjoner faktisk tilfredsstiller ulikheten, er dette alle løsningene.

Selvsagt helt riktig! Begge de to siste nøttene du har løst er fra samlingen kalt Jewish Problems, her: https://arxiv.org/pdf/1110.1556.pdf

Forhistorien til disse er ganske interessant.

Finn alle funksjoner f fra R til R : ........o.s.v.........

Presenterer her en alternativ løsning på dette problemet:

(x[tex]_1[/tex] - [tex]x_2[/tex])^2 er større eller lik null for alle x[tex]_1[/tex] og x[tex]_2[/tex]

Siden f(x[tex]_1[/tex]) - f(x[tex]_2[/tex]) er mindre eller lik forannevnte kvadrat, må nødvendigvis

f(x[tex]_1[/tex]) - f(x[tex]_2[/tex]) være mindre eller lik null for alle x[tex]_1[/tex] og x[tex]_2[/tex].

Det betyr at f(x[tex]_1[/tex]) er mindre eller lik f(x[tex]_2[/tex]) for alle x[tex]_1[/tex] og x[tex]_2[/tex].

Denne ulikheten er oppfylt hvis og bare hvis f(x) = konstant.

Er dette en holdbar løsning ?

OYV skrev: Siden f(x[tex]_1[/tex]) - f(x[tex]_2[/tex]) er mindre eller lik forannevnte kvadrat, må nødvendigvis

f(x[tex]_1[/tex]) - f(x[tex]_2[/tex]) være mindre eller lik null for alle x[tex]_1[/tex] og x[tex]_2[/tex].

Dette stemmer vel ikke

Du har helt rett !