matematikk.net

Løs likningssystemet under:

[tex]\large \pi^{3x+2}=\pi^{3y-z}[/tex]

[tex]\large \sqrt[4]{\pi^{x+y-z}}=\frac{1}{\pi^{x-y}}[/tex]

[tex]\large 2^{3x-y+1}=16^{3y-2x}[/tex]

[tex](x,y,z)\left\{\begin{matrix} \pi^{3x+2}=\pi^{3y-z}\\ \ \sqrt[4]{\pi^{x+y-z}}=\frac{1}{\pi^{x-y}}\\ \ 2^{3x-y+1}=16^{3y-2x}\\ \end{matrix}\right.[/tex]

Først har vi at

[tex]\pi^{3x+2}=\pi^{3y-z}\Leftrightarrow3x+2=3y-z[/tex]

Så har vi at [tex]\sqrt[4]{\pi^{x+y-z}}=\frac{1}{\pi^{x-y}}\Leftrightarrow \pi^{x+y-z}=\frac{1}{(\pi^{x-y})^4} \Leftrightarrow \pi^{x+y-z}=\pi^{-4{(x-y)}}\Leftrightarrow x+y-z=-4x+4y[/tex]

Videre at

[tex]2^{3x-y+1}=16^{3y-2x}\Leftrightarrow 2^{3x-y+1}=2^{4(3y-2x)}\Leftrightarrow 3x-y+1=12y-8x[/tex]

Alt i alt får vi at [tex](x,y,z)\left\{\begin{matrix} 3x-3y+z+2=0\\ 5x-3y-z=0\\ \ 11x-13y+1=0 \\ \end{matrix}\right.[/tex]

Og uten å videre regne en hel haug med algebra, fordi det tar 7 år å skrive inn i latex, får vi at [tex](x=-\frac{10}{19}, y=-\frac{7}{19},z=-\frac{29}{19})[/tex]

Kay skrev:[tex](x,y,z)\left\{\begin{matrix} \pi^{3x+2}=\pi^{3y-z}\\ \ \sqrt[4]{\pi^{x+y-z}}=\frac{1}{\pi^{x-y}}\\ \ 2^{3x-y+1}=16^{3y-2x}\\ \end{matrix}\right.[/tex]
Først har vi at
[tex]\pi^{3x+2}=\pi^{3y-z}\Leftrightarrow3x+2=3y-z[/tex]
Så har vi at [tex]\sqrt[4]{\pi^{x+y-z}}=\frac{1}{\pi^{x-y}}\Leftrightarrow \pi^{x+y-z}=\frac{1}{(\pi^{x-y})^4} \Leftrightarrow \pi^{x+y-z}=\pi^{-4{(x-y)}}\Leftrightarrow x+y-z=-4x+4y[/tex]
Videre at
[tex]2^{3x-y+1}=16^{3y-2x}\Leftrightarrow 2^{3x-y+1}=2^{4(3y-2x)}\Leftrightarrow 3x-y+1=12y-8x[/tex]
Alt i alt får vi at [tex](x,y,z)\left\{\begin{matrix} 3x-3y+z+2=0\\ 5x-3y-z=0\\ \ 11x-13y+1=0 \\ \end{matrix}\right.[/tex]
Og uten å videre regne en hel haug med algebra, fordi det tar 7 år å skrive inn i latex, får vi at [tex](x=-\frac{10}{19}, y=-\frac{7}{19},z=-\frac{29}{19})[/tex]

fine greier

Løste det mer eller mindre likt som Kay, men prøvde meg å løse selve likningssystemet (etter forenklinger) med matriser, noe som er helt nytt for meg.

[tex]\large \text{I} \enspace \pi^{3x+2} = \pi^{3y-z} \enspace \Rightarrow \enspace \log_{\pi}\pi^{3x+2} = \log_{\pi}\pi^{3y-z} \enspace \Rightarrow \enspace 3x+2=3y-z[/tex]

[tex]\large \text{II} \enspace \sqrt[4]{\pi^{x+y-z}} = \frac{1}{\pi^{x-y}} \enspace \Rightarrow \enspace \pi^{\frac{x+y-z}{4}} = \pi^{-x+y} \enspace \Rightarrow \enspace \log_\pi \pi^{\frac{x+y-z}{4}} = \log_\pi \pi^{-x+y} \enspace \Rightarrow \enspace \frac{x+y-z}{4} = -x+y[/tex]

[tex]\large \text{III} \enspace 2^{3x-y+1} = 16^{3y-2x} \enspace \Rightarrow \enspace \log_2{2^{3x-y+1}} = \log_2{16^{3y-2x}} \enspace \Rightarrow \enspace 3x-y+1 = 3y-2x\cdot\log_2{16} \enspace \Rightarrow \enspace 3x-y+1=4(3y-2x)[/tex]

Vi har nå likningene

[tex]\text{I} \enspace 3x-3y+z=-2[/tex]

[tex]\text{II} \enspace 4\left(\dfrac{x+y-z}{4} \right) = 4\left(-x+y \right) \enspace \Rightarrow \enspace x+y-z = -4x +4y \enspace \Rightarrow \enspace 5x-3y-z=0[/tex]

[tex]\text{III} \enspace 3x-y+1=12y-8x \enspace \Rightarrow \enspace 11x-13y=-1[/tex]

Prøver meg videre å løse vha. Gaussisk eliminjason. Helt ny til matriser, så her må dere gjerne rette meg opp.

[tex]\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 3 & -3 & 1\\ 5 & -3 & -1\\ 11 & -13 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} -2 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \end{pmatrix}[/tex]

Adderer (blir jo dog minus grunnet negativt fortegn) andre rad med øverste rad multiplisert med $ - \frac{5}{3} $ for å få $ \large a_{21} $ til å bli 0.

Vi har videre følgende matrise:
$\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 3 & -3 & 1\\ 0 & 2 & -\frac{8}{3}\\ 11 & -13 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} -2 \\ \frac{10}{3} \\ -1 \end{matrix} \end{pmatrix}$

Adderer tredje rad med første rad multiplisert med $ - \frac{11}{3} $ for å få $ \large a_{31}$ til å bli 0.

Vi har da videre følgende matrise:
$ \begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 3 & -3 & 1\\ 0 & 2 & -\frac{8}{3}\\ 0 & -2 & -\frac{11}{3} \end{matrix}\right| \begin{matrix} -2 \\ \frac{10}{3} \\ \frac{19}{3} \end{matrix} \end{pmatrix} $

Videre adderer vi tredje rad med andre rad multiplisert med $ 1 $ for å få $ \large a_{32} $ til å bli 0.

Vi har da videre følgende matrise med trappeform, og kan da løse likningssystemet:
$ \begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 3 & -3 & 1\\ 0 & 2 & -\frac{8}{3}\\ 0 & 0 & -\frac{19}{3} \end{matrix}\right| \begin{matrix} -2 \\ \frac{10}{3} \\ \frac{29}{3} \end{matrix} \end{pmatrix} $

Vi kan nå se av matrisen at;

$- \frac{19}{3}z = \frac{29}{3} \enspace \Rightarrow \enspace z = - \frac{29}{19}$
$ 2y - \left ( \frac{8}{3} \cdot -\frac{29}{19} \right ) = \frac{10}{3} \enspace \Rightarrow \enspace y = - \frac{7}{19} $
$ 3x - \left (3 \cdot - \frac{7}{19} \right) - \frac{29}{19} = -2 \enspace \Rightarrow \enspace x = - \frac{10}{19}$

mattemarkus skrev:Løste det mer eller mindre likt som Kay, men prøvde meg å løse selve likningssystemet (etter forenklinger) med matriser, noe som er helt nytt for meg.[tex]\large \text{I} \enspace \pi^{3x+2} = \pi^{3y-z} \enspace \Rightarrow \enspace \log_{\pi}\pi^{3x+2} = \log_{\pi}\pi^{3y-z} \enspace \Rightarrow \enspace 3x+2=3y-z[/tex]
[tex]\large \text{II} \enspace \sqrt[4]{\pi^{x+y-z}} = \frac{1}{\pi^{x-y}} \enspace \Rightarrow \enspace \pi^{\frac{x+y-z}{4}} = \pi^{-x+y} \enspace \Rightarrow \enspace \log_\pi \pi^{\frac{x+y-z}{4}} = \log_\pi \pi^{-x+y} \enspace \Rightarrow \enspace \frac{x+y-z}{4} = -x+y[/tex]
[tex]\large \text{III} \enspace 2^{3x-y+1} = 16^{3y-2x} \enspace \Rightarrow \enspace \log_2{2^{3x-y+1}} = \log_2{16^{3y-2x}} \enspace \Rightarrow \enspace 3x-y+1 = 3y-2x\cdot\log_2{16} \enspace \Rightarrow \enspace 3x-y+1=4(3y-2x)[/tex]Vi har nå likningene
[tex]\text{I} \enspace 3x-3y+z=-2[/tex]
[tex]\text{II} \enspace 4\left(\dfrac{x+y-z}{4} \right) = 4\left(-x+y \right) \enspace \Rightarrow \enspace x+y-z = -4x +4y \enspace \Rightarrow \enspace 5x-3y-z=0[/tex]
[tex]\text{III} \enspace 3x-y+1=12y-8x \enspace \Rightarrow \enspace 11x-13y=-1[/tex]
Prøver meg videre å løse vha. Gaussisk eliminjason. Helt ny til matriser, så her må dere gjerne rette meg opp.
[tex]\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 3 & -3 & 1\\ 5 & -3 & -1\\ 11 & -13 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} -2 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \end{pmatrix}[/tex]
Adderer (blir jo dog minus grunnet negativt fortegn) andre rad med øverste rad multiplisert med $ - \frac{5}{3} $ for å få $ \large a_{21} $ til å bli 0.
Vi har videre følgende matrise:
$\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 3 & -3 & 1\\ 0 & 2 & -\frac{8}{3}\\ 11 & -13 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} -2 \\ \frac{10}{3} \\ -1 \end{matrix} \end{pmatrix}$
Adderer tredje rad med første rad multiplisert med $ - \frac{11}{3} $ for å få $ \large a_{31}$ til å bli 0.
Vi har da videre følgende matrise:
$ \begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 3 & -3 & 1\\ 0 & 2 & -\frac{8}{3}\\ 0 & -2 & -\frac{11}{3} \end{matrix}\right| \begin{matrix} -2 \\ \frac{10}{3} \\ \frac{19}{3} \end{matrix} \end{pmatrix} $
Videre adderer vi tredje rad med andre rad multiplisert med $ 1 $ for å få $ \large a_{32} $ til å bli 0.
Vi har da videre følgende matrise med trappeform, og kan da løse likningssystemet:
$ \begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 3 & -3 & 1\\ 0 & 2 & -\frac{8}{3}\\ 0 & 0 & -\frac{19}{3} \end{matrix}\right| \begin{matrix} -2 \\ \frac{10}{3} \\ \frac{29}{3} \end{matrix} \end{pmatrix} $
Vi kan nå se av matrisen at;
$- \frac{19}{3}z = \frac{29}{3} \enspace \Rightarrow \enspace z = - \frac{29}{19}$
$ 2y - \left ( \frac{8}{3} \cdot -\frac{29}{19} \right ) = \frac{10}{3} \enspace \Rightarrow \enspace y = - \frac{7}{19} $
$ 3x - \left (3 \cdot - \frac{7}{19} \right) - \frac{29}{19} = -2 \enspace \Rightarrow \enspace x = - \frac{10}{19}$

veldig bra, så fikk jeg oppfriska matriser og Gauss eliminasjon.