matematikk.net

Evaluer integralet under:

[tex]\large I=\int \frac{3\cos(x)+4\sin(x)\cos(x)}{\sin^3(x)-\cos^2(x)+1}\,dx[/tex]

Janhaa skrev:Evaluer integralet under:

[tex]\large I=\int \frac{3\cos(x)+4\sin(x)\cos(x)}{\sin^3(x)-\cos^2(x)+1}\,dx[/tex]

$$\int \frac{3\cos x+4\sin x\cos x}{\sin^3 x-\cos^2x+1}\,dx = \int\frac{3\cos x + 2\sin x \cos x - 3\cos^3 x}{\sin^3 x - \cos ^2 x + 1}\,dx + \int\frac{2\sin x\cos x + 3\cos^3 x}{\sin^3x - \cos^2x + 1}\, dx.$$

Første ledd: La $u = \sin^3 x - \cos^2 x + 1.$ $\therefore du = \left[3\sin^2 x\cos x+ 2\cos x \sin x\right]dx =\left[3(1-\cos^2 x)\cos x + 2\cos x\sin x\right]dx = \left[3\cos x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x\right]dx$, så ved substitusjon er første ledd lik $\log(\sin^3 x - \cos^2 x + 1) + $ konstant.

Annet ledd: Vi har at $$\int\frac{2\sin x\cos x + 3\cos^3 x}{\sin^3x - \cos^2x + 1}\, dx = \int\frac{\cos x\left(2\sin x + 3(1 - \sin^2 x)\right)}{\sin^3 x - (1-\sin^2 x) + 1}\,dx = \int\frac{\cos x\left(2\sin x - 3\sin^2 x + 3\right)}{\sin^3 x + \sin^2 x}\,dx,$$ så vi substituerer $u = \sin x$ (så $du = \cos x dx$) og får integralet $$\int\frac{2u - 3u^2 + 3}{u^3 + u^2}\,du.$$ Dette løser vi med delbrøksoppspalting og får at annet ledd er lik $-3\csc x - \log(\sin x) - 2\log(\sin x + 1) + $ konstant.

Altså, $$I = \int \frac{3\cos x+4\sin x\cos x}{\sin^3 x-\cos^2x+1}\,dx = \log(\sin^3 x - \cos^2 x + 1) - 3\csc x - \log(\sin x) - 2\log(\sin x + 1) + C,$$ $C$ en konstant.

DennisChristensen skrev:

Janhaa skrev:Evaluer integralet under:
[tex]\large I=\int \frac{3\cos(x)+4\sin(x)\cos(x)}{\sin^3(x)-\cos^2(x)+1}\,dx[/tex]

$$\int \frac{3\cos x+4\sin x\cos x}{\sin^3 x-\cos^2x+1}\,dx = \int\frac{3\cos x + 2\sin x \cos x - 3\cos^3 x}{\sin^3 x - \cos ^2 x + 1}\,dx + \int\frac{2\sin x\cos x + 3\cos^3 x}{\sin^3x - \cos^2x + 1}\, dx.$$
Første ledd: La $u = \sin^3 x - \cos^2 x + 1.$ $\therefore du = \left[3\sin^2 x\cos x+ 2\cos x \sin x\right]dx =\left[3(1-\cos^2 x)\cos x + 2\cos x\sin x\right]dx = \left[3\cos x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x\right]dx$, så ved substitusjon er første ledd lik $\log(\sin^3 x - \cos^2 x + 1) + $ konstant.
Annet ledd: Vi har at $$\int\frac{2\sin x\cos x + 3\cos^3 x}{\sin^3x - \cos^2x + 1}\, dx = \int\frac{\cos x\left(2\sin x + 3(1 - \sin^2 x)\right)}{\sin^3 x - (1-\sin^2 x) + 1}\,dx = \int\frac{\cos x\left(2\sin x - 3\sin^2 x + 3\right)}{\sin^3 x + \sin^2 x}\,dx,$$ så vi substituerer $u = \sin x$ (så $du = \cos x dx$) og får integralet $$\int\frac{2u - 3u^2 + 3}{u^3 + u^2}\,du.$$ Dette løser vi med delbrøksoppspalting og får at annet ledd er lik $-3\csc x - \log(\sin x) - 2\log(\sin x + 1) + $ konstant.
Altså, $$I = \int \frac{3\cos x+4\sin x\cos x}{\sin^3 x-\cos^2x+1}\,dx = \log(\sin^3 x - \cos^2 x + 1) - 3\csc x - \log(\sin x) - 2\log(\sin x + 1) + C,$$ $C$ en konstant.

Bra, en del arbeid med denne!

Janhaa skrev:Evaluer integralet under:

[tex]I=\int \frac{3\cos(x)+4\sin(x)\cos(x)}{\sin^3(x)-\cos^2(x)+1}\,dx[/tex]

Hvis vi lar $u=\sin x$ så blir
\[ \int \frac{3\cos(x)+4\sin(x)\cos(x)}{\sin^3(x)+\cos^2(x)+1} \ dx=\int \frac{3\cos x +4\sin x\cos x}{\sin^3 x-\sin ^2x}\frac{du}{\cos x}=\int \frac{3+4u}{u^3+u^2}\ du.\]
Resten er rutine:
\[ \int \frac{3+4u}{u^3+u^2}\ du=\int -\frac{1}{u+1}+\frac{1}{u}+\frac{3}{u^2}\ du=\ln u- \ln (u+1)-\frac3u +C=\ln\left(\frac{\sin x}{\sin x+1}\right) - 3\csc x+C.\]

stensrud skrev:

Janhaa skrev:Evaluer integralet under:
[tex]I=\int \frac{3\cos(x)+4\sin(x)\cos(x)}{\sin^3(x)-\cos^2(x)+1}\,dx[/tex]

Hvis vi lar $u=\sin x$ så blir
\[ \int \frac{3\cos(x)+4\sin(x)\cos(x)}{\sin^3(x)+\cos^2(x)+1} \ dx=\int \frac{3\cos x +4\sin x\cos x}{\sin^3 x-\sin ^2x}\frac{du}{\cos x}=\int \frac{3+4u}{u^3+u^2}\ du.\]
Resten er rutine:
\[ \int \frac{3+4u}{u^3+u^2}\ du=\int -\frac{1}{u+1}+\frac{1}{u}+\frac{3}{u^2}\ du=\ln u- \ln (u+1)-\frac3u +C=\ln\left(\frac{\sin x}{\sin x+1}\right) - 3\csc x+C.\]

fiffig,

stensrud skrev:

Janhaa skrev:Evaluer integralet under:

[tex]I=\int \frac{3\cos(x)+4\sin(x)\cos(x)}{\sin^3(x)-\cos^2(x)+1}\,dx[/tex]

Hvis vi lar $u=\sin x$ så blir
\[ \int \frac{3\cos(x)+4\sin(x)\cos(x)}{\sin^3(x)+\cos^2(x)+1} \ dx=\int \frac{3\cos x +4\sin x\cos x}{\sin^3 x-\sin ^2x}\frac{du}{\cos x}=\int \frac{3+4u}{u^3+u^2}\ du.\]
Resten er rutine:
\[ \int \frac{3+4u}{u^3+u^2}\ du=\int -\frac{1}{u+1}+\frac{1}{u}+\frac{3}{u^2}\ du=\ln u- \ln (u+1)-\frac3u +C=\ln\left(\frac{\sin x}{\sin x+1}\right) - 3\csc x+C.\]

Selvsagt. Enklere!