matematikk.net

La $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ være kontinuerlig og anta at $$\int_0^1 t^n f(t) dt = 0 \text{ }\text{ for }\text{ }n=0,1,2,\dots$$ Vis at $f(t) = 0$ for alle $t\in[0,1]$.

Kan det være så greit som

[tex]\int_0^1 t^n f(t) dt = 0 \, \forall n \in \mathbb{N}[/tex]

Da har vi at for enhver n så er t^n begrensa, altså

[tex]\int_0^1 t^n f(t) dt \leq M \int_0^n f(t) dt = 0[/tex]

Og følgelig så må f(t) = 0 for alle t i intervallet.

ComradeHulaHula skrev:Kan det være så greit som

[tex]\int_0^1 t^n f(t) dt = 0 \, \forall n \in \mathbb{N}[/tex]

Da har vi at for enhver n så er t^n begrensa, altså

[tex]\int_0^1 t^n f(t) dt \leq M \int_0^n f(t) dt = 0[/tex]

Og følgelig så må f(t) = 0 for alle t i intervallet.

Usikker på hva du mener her.

$t^n$ er begrenset på intervallet $[0,1]$, ja, så $|\int_0^1t^nf(t) dt| \leq \int |f(t)| dt$. Ser ikke hvordan du får ulikheten du har skrevet opp. Hvor kommer dessuten skiftet i integrasjonsområdet fra, og hvordan får du at $\int_0^n f(t) dt = 0$?

Dessuten stemmer det jo ikke at $$\forall n\in\mathbb{N}_{\geq 1} \int_0^n f(t) dt = 0 \implies f = 0.$$ Se for eksempel på $f(t) = \sin(2\pi t)$.

DennisChristensen skrev:La $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ være kontinuerlig og anta at $$\int_0^1 t^n f(t) dt = 0 \text{ }\text{ for }\text{ }n=1,2,\dots$$ Vis at $f(t) = 0$ for alle $t\in[0,1]$.

Skal ikke også n=0 være inkludert?

plutarco skrev:

DennisChristensen skrev:La $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ være kontinuerlig og anta at $$\int_0^1 t^n f(t) dt = 0 \text{ }\text{ for }\text{ }n=1,2,\dots$$ Vis at $f(t) = 0$ for alle $t\in[0,1]$.

Skal ikke også n=0 være inkludert?

Oops! Ja, det skal det! Endret det nå.

Fra Stone-Weierstrass fins en følge $p_n(t)$ av polynomer som konvergerer uniformt mot $f(t)$. Dermed blir $0=\lim_{n\to\infty} \int_0^1 p_n(t)f(t)\,dt=\int_0^1 \lim_{n\to\infty}p_n(t)f(t)\,dt)=\int_0^1 f^2(t)\,dt\Rightarrow f(t)\equiv 0$

plutarco skrev:Fra Stone-Weierstrass fins en følge $p_n(t)$ av polynomer som konvergerer uniformt mot $f(t)$. Dermed blir $0=\lim_{n\to\infty} \int_0^1 p_n(t)f(t)\,dt=\int_0^1 \lim_{n\to\infty}p_n(t)f(t)\,dt)=\int_0^1 f^2(t)\,dt\Rightarrow f(t)\equiv 0$

Nettopp! Brukte også Stone-Weierstrass.