matematikk.net

Regn ut grenseverdien $\lim_{n\to\infty}\left (\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n-1}\right )$

Ikke en formell løsning, men:

Når $a$ og $b$ er store nok, så er [tex]\sum_{i=a}^b \dfrac1i \approx \int_a^b \dfrac{{\mathrm d}x}{x} = \ln(b/a)[/tex] en god tilnærming (ettersom funksjonen $1/x$ "flater ut", som man kan se på denne figuren: http://www.goo.gl/ryyLH3)
Dermed har man at [tex]\lim_{n\to\infty}\sum_{i=n}^{2n-1}\dfrac1i = \lim_{n\to\infty}\int_n^{2n-1}\dfrac{\mathrm{d}x}{x} = \lim_{n\to\infty}\ln\left(\dfrac{2n-1}{n}\right) = \ln{(2)}.[/tex]

Ved å sette $S_n = \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k}$ og anvende at

$\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} \, dx \:<\: \frac{1}{k} \:<\: \int_{k-1}^k \frac{1}{x} \, dx$

for alle heltall $k>1$, følger at

$\sum_{k=n}^{2n-1} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} \, dx \:<\: \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} \:<\: \sum_{k=n}^{2n-1} \int_{k-1}^k \frac{1}{x} \, dx$,

i.e.

$\int_n^{2n} \frac{1}{x} \, dx \:<\: S_n \:<\: \int_{n-1}^{2n-1} \frac{1}{x} \, dx$.

Dermed får vi at

${\textstyle (1) \;\; \ln 2 \:<\: S_n < \ln \frac{2n-1}{n-1}.}$

Ettersom ${\textstyle \frac{2n-1}{n-1} \rightarrow 2}$ når $n \rightarrow \infty$, gir (1) og skviseloven at $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \ln 2$.

Utsøkt