Polynomer

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Finn alle ikkekonstante polynomer med reelle koeffisienter som tilfredsstiller
\[ P(x^2)=P(x)P(x-1) \]
for alle $x$.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

$P(x^2)=P(x)P(x-1)$ (1)

Anta at $P(x)$ har grad $n>0$. Da har $P(x)$ eksakt $n$ komplekse røtter. Anta at $r\in \mathbb{C}$ er en rot. Da er $P(r)=0$. Setter vi inn $x=r$ i likningen fås $P(r^2)=0$, så $r^2$ er en rot. Setter vi inn $x=r^2$ i (1) fås $P(r^4)=0$, så $r^4$ er en rot etc.. Induktivt ser vi at $r^{2^n}$ er røtter for alle naturlige tall $n$.

$\Rightarrow $ Dersom $r$ er en rot i $P(x)$ slik at $|r|\neq 1$ så vil $P(x)$ ha uendelig mange distinkte røtter, noe som er umulig. Derfor må $|r|=1$.

Anta så at $r$ er en rot i $P(x)$ slik at $|r|=1\Rightarrow r=e^{\theta i}$. Setter vi inn $x=r+1$ i den første likningen fås $P((r+1)^2)=P(r+1)P(r)=0$, så $(r+1)^2$ er en rot i $P(x)$. Da må $|(r+1)^2|=1\Rightarrow |r+1|=1$. Løser vi likningen $|e^{\theta i}+1|=1$ har denne løsninger $\theta=\pm \frac23 \pi$, dermed må $r_{\pm}=e^{\pm\frac23 \pi i}$ være de eneste mulige røttene til $P(x)$.

Det betyr at vi kan skrive $P(x)=a(x-r_+)^p (x-r_-)^q$ der $p+q=n$ er graden til $P(x)$. Det er lett å se at ledende koeffisient må være $1$, så vi må ha $a=1$, dermed kan vi skrive $P(x)=(x-r_+)^p (x-r_-)^{n-p}$.

Siden komplekse røtter til polynomer over $\mathbb{R}$ må opptre i konjugerte par, så må $p=q$, så vi må ha at

$P(x)=(x-r_+)^{\frac{n}{2}} (x-r_-)^{\frac{n}{2}}=((x-r_+)(x-r_-))^{\frac{n}{2}}=(x^2+x+1)^{k}$ for naturlige tall $k$. La $P_k(x)=(x^2+x+1)^{k}$ være løsningene. De kan verifiseres ved å observere at $x^4+x^2+1=(x^2+x+1)((x-1)^2+(x-1)+1)$:

$P_k(x^2)=(x^4+x^2+1)^k = ((x^2+x+1)((x-1)^2+(x-1)+1))^k=(x^2+x+1)^k((x-1)^2+(x-1)+1)^k=P_k(x)P_k(x-1)$.
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Konge! Oppgaven er fra Romania, 1995.
Svar