Geometri

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
mingjun
Cayley
Cayley
Innlegg: 91
Registrert: 18/11-2016 21:13
Sted: Det projektive planet

I en trekant $ABC$ skjærer høyden fra $A$ linjen $BC$ i punktet $D$. Speilbildene av $D$ om sidene $AB$ og $AC$ kaller vi henholdsvis $E$ og $F$. La $O_1$ være omsentret til trekanten $ABC$, og $O_2$ være omsentret til trekanten $O_1EF$. Vis at $O_1$, $O_2$, og $A$ ligger på linje.
trekant.png
trekant.png (9.14 kiB) Vist 1946 ganger

(Omsentret til en trekant $ABC$ er sentret til den omskrevne sirkelen av trekanten $ABC$, altså et punkt med samme distanse til alle tre hjørnene av trekanten)
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

La $H$ og $O$ være henholdsvis ortosenteret og omsenteret til $\triangle ABC$. Det holder å vise at $OA$ halverer $EF$, og siden $AE=AF$ som følge av konstruksjonen trenger vi bare å vise at $AO$ halverer $\angle EAF$. Fordi $O$ og $H$ er isogonale konjugater er
\[ \angle EAO=\angle EAB+\angle BAO=\angle BAH+\angle HAC=\angle BAC, \]
og helt tilsvarende vises det at $\angle OAF=\angle BAC$. Vi er ferdige.
mingjun
Cayley
Cayley
Innlegg: 91
Registrert: 18/11-2016 21:13
Sted: Det projektive planet

Ikke verst!
Svar