Liten tallteorioppgave

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Finn alle primtall $x$ slik at $x^2+2$ er et primtall.
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

plutarco skrev:Finn alle primtall $x$ slik at $x^2+2$ er et primtall.
Alle primtall $x>3$ kan skrives som $x = 3n + 1$ eller $x = 3n + 2$, der $n\geq 1$.

Ettersom verken $$(3n+1)^2 + 2 = 9n^2 + 6n + 3 = 3(3n^2 + 2n + 1)$$ eller $$(3n+2)^2 + 2 = 9n^2 + 12n + 6 = 3(3n^2 + 4n + 2)$$ er primtall for $n\geq 1$ har vi at det ikke finnes noen løsninger for $x > 3$. Ettersom $x=3$ er eneste løsning for $x \leq 3$, er dette den eneste løsningen.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Fint!

Alternativt ser vi av Fermats lille teorem at $x^2+2\equiv 0\pmod 3$ så lenge $x$ ikke er et multippel av $3$. Siden $x^2+2>3$ dersom $x>1$, og det eneste primtallet som er delelig med $3$ er $3$, er eneste løsning at $x=3$.
Svar