matematikk.net

La $f(x)$ være en deriverbar funksjon som tilfredsstiller $f(xy)=f(x)+f(y)$ for alle $x,y>0$. Hvis $f'(1)=3$, finn $f(x)$.

plutarco skrev:La $f(x)$ være en deriverbar funksjon som tilfredsstiller $f(xy)=f(x)+f(y)$ for alle $x,y>0$. Hvis $f'(1)=3$, finn $f(x)$.

ser jo "løsninga" her også,
den bør være på formen:
[tex]f(x)=\log_a(x)[/tex]
der
[tex]f(xy)=\log_a(xy)=\lg_a(x) + \lg_a(y)[/tex]
der:
[tex]f '(x)=\frac{1}{x\lg(a)}[/tex]
og
[tex]f '(1)=\frac{1}{\lg(a)}=3[/tex]
DVs
[tex]a=10^{1/3}[/tex]

Noe sånt, sliter greit med forklaringa da...

Hint:

[+] Skjult tekst

derivér

plutarco skrev:La $f(x)$ være en deriverbar funksjon som tilfredsstiller $f(xy)=f(x)+f(y)$ for alle $x,y>0$. Hvis $f'(1)=3$, finn $f(x)$.

Deriverer med hensyn på $y$: $$xf'(xy) = f'(y).$$ Lar vi $y=1$ får vi at $$xf'(x) = f'(1) = 3.$$ Dermed er $$f(x) = 3\ln x + C,\text{ }\text{ }C\in\mathbb{R}.$$ Ettersom vi vet at $f$ skal tilfredsstille $f(x^2) = 2f(x)$, må vi ha at $C = 0$, så $f(x) = 3\ln x.$

Ser bra ut!