matematikk.net

Det finnes trekanter som har sidelengder som kan uttrykkes som kvadratroten av et helt tall, og samtidig har en høyde som også kan uttrykkes som kvadratroten av et helt tall. Et eksempel på det er [tex]\sqrt{3}.,\sqrt{6}., \sqrt{9}[/tex] trekanten, som har høyde [tex]\sqrt{2}[/tex]. Viss vi her holder oss til det at kvadrattallet skal øke med 3 for hver ny side på trekantene, så finnes det to trekanter til med disse kategoriene som er ganske lett å finne. Eg har lett etter den fjerde trekanten uten å finne den.

Kan dette være en utfordring for noen her på forumet og innse om den finnes, eller ikke finnes?

Vi skal finne alle trekanter med sider av lengde $(a,b,c) = (\sqrt{n-3}, \sqrt{n}, \sqrt{n+3})$, ($n \geq 4$, $n \in \mathbb{N}$) og en av høydene i trekanten er kvadratroten av et naturlig tall.
Ifølge Herons formel er arealet $A$ av trekanten

$(4A)^2$
$= (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$
$= [(c+a) + b][(c+a) - b][b + (c-a)][b - (c-a)]$
$= [(c+a)^2 - b^2][b^2 - (c-a)^2]$
$= 2(c^2 + a^2)b^2 - b^4 - (c^2 - a^2)^2$
$= 4n^2 - n^2 - 36$
$= 3n^2 - 36$,

i.e.

$(1) \:\: 4A = \sqrt{3n^2 - 36}$.

Ved å velge $g = \sqrt{n + 3k}$, $(k \in \{-1,0,1\})$ som grunnlinje i trekanten, og la $h$ være den samsvarende høyden i trekanten, får vi

$(2) \:\: 4A = 2\sqrt{n + 3k}h$.

Formlene (1) og (2) gir

$(3) \;\; 4(n + 3k)h^2 = 3n^2 - 36$.

Herav følger at $n=2p$ $(p \geq 2)$, som innsatt i (3) resulterer i

$(4) \;\; (2p + 3k)h^2 = 3p^2 - 9$.

Vi har følgende alternativer for valg av $k$:

$\bullet \; k=0$. Innsatt i (4) får vi

${\textstyle 2h^2 = 3p - \frac{9}{p}}$

med $g = \sqrt{n} = \sqrt{2p}$, som betyr at $p \in \{3,9\}$. Så vi får de to løsningene $(g,n,h) = (\sqrt{6},6,\sqrt{3})$ og $(g,n,h) = (\sqrt{18},18,\sqrt{13})$.

$\bullet \; k = \pm 1$. Innsatt i (4) får vi

$(5) \;\; (2p \pm 3)h^2 = 3(p^2 - 3)$,

som impliserer at

${\textstyle 4h^2 = 3(2p \mp 3) + \frac{18}{2p \pm 3}}$.

Ergo må

$(6) \;\; 2p \pm 3 | 9$.

Dersom $g = \sqrt{2p-3}$, vil $p \in \{2,3,6\}$ (siden $2p-3|9$ ifølge (6)), som iht. (5) gir oss de tre løsningene $(g,n,h) = (1,4,\sqrt{3})$, $(g,n,h) = (\sqrt{3}, 6, \sqrt{6})$ og $(g,n,h) = (\sqrt{9}, 12, \sqrt{11})$.

Hvis $g = \sqrt{2p+3}$, vil $p=3$ (siden $2p+3|9$), som iht. (5) gir oss løsningen $(g,n,h) = (\sqrt{9}, 6, \sqrt{2})$.

Vi ser at i tre av de seks løsningene er $n=6$. Dermed blir konklusjonen bli at det kun er fire trekanter ($n \in \{4,6,12,18\}$) som tilfredsstiller de nevnte kriteriene.

Det er sikkert en veldig flott løsning, den du har kommet med her. Takker for den!
Viss eg ser det rett, så har eg 3 av de 4 trekantene som du viser til her, men det må være trekanten som du har beskrevet 4 som eg ikke har. Den minste trekanten med gitte kriterier er den eg har i innledningen, mens eg ser du har den minste trekanten som beskrevet 4. Eg hadde satt stor pris på om du kunne angitt sidelengdene på den trekanten.

Det står i min løsning at sidene i trekanten har lengdene $\sqrt{n-3}$, $\sqrt{n}$ og $\sqrt{n+3}$. Så når $n=4$, får vi en trekant der sidelengder er hhv. 1, 2 og $\sqrt{7}$.