matematikk.net

Bestem alle reelle 2 x 2 matriser, $A = \begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}$ som tilfredstiller $ A^2+A + I=0$

Kjemikern skrev:Bestem alle reelle 2 x 2 matriser, $A = \begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}$ som tilfredstiller $ A^2+A + I=0$

DVs:

[tex]\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}^2 + \begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}=0[/tex]

altså for:

[tex]B=\begin{pmatrix} a^2+a+1 &b^2+b \\ c^2+c &d^2+d+1 \end{pmatrix}[/tex]

Mengden M av reelle 2x2-matriser A slik at $A^3=I$ danner en undergruppe av gruppen SO(2) av reelle 2x2-rotasjonsmatriser. Nå er SO(2) isomorf med sirkelgruppa $\mathbb T=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$ via
\[
\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\mapsto e^{i\theta}\]
Bildet av M under denne isomorfien er gruppa $\mu_3$ av tredje enhetsrøtter.

Nå er $A^3-I=(A-I)(A^2+A+I)$, så vi er interessert i de matriser som svarer til primitive enhetsrøtter under isomorfien over. Med andre ord,
\[\begin{pmatrix}
\cos(2n\pi/3) & -\sin(2n\pi/3)\\
\sin(2n\pi/3) & \cos(2n\pi/3)
\end{pmatrix}\]
for $n=1,2$.

Jeg er dessverre ingen ekspert på isomorfe, men det finnes en enklere løsning.

Kjemikern skrev:Bestem alle reelle 2 x 2 matriser, $A = \begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}$ som tilfredstiller $ A^2+A + I=0$

La $p(\lambda) = det(\lambda I -A)$.

Cayley-Hamilton teoremet sier at da er $p(A)=0$, så det holder å bestemme $a,b,c,d$ slik at

$p(\lambda) = det(\lambda I -A) =(\lambda-a)(\lambda-d)-bc=\lambda^2-(a+d)\lambda +ad-bc= \lambda ^2+\lambda +1$,

Alle reelle $a,b,c,d$ som oppfyller likningssettet

$a+d=-1$ og $ad-bc=1$,

vil dermed svare til en matrise $A$ som oppfyller likningen $A^2+A + I=0$.

(Edit: Det er lett å vise at dersom a,b,c,d ikke oppfyller likningssettet, så kan ikke A tilfredsstille $A^2+A+I=0$.)

Fine løsninger!

Jeg løste den slik:

Hvis vi utvider likningen i system får vi:

[tex]\left\{\begin{matrix} (1):a^2+a+bc+1=0 \\ (2):ab+bd+b=0 \\ (3):ac+cd+c=0 \\ (4): d^2+d+bc+1=0 \end{matrix}\right.[/tex]


Løser vi (1) og (4) for $a$ og $d$ får vi at: [tex]a=\frac{-1\pm \sqrt{-3-4bc}}{2}[/tex] og [tex]d=\frac{-1\pm \sqrt{-3-4bc}}{2}[/tex]

Hvor av det følger at $bc \leq 3/4$, $b\neq 0$ og $c\neq 0$.

Dermed kan vi dividere (2) med $d$ og (3) med $c$ for å få $a+d=1$, som er tilfredstilt hvis $bc \leq 3/4$

Løsningene blir dermed: [tex]A=\begin{pmatrix} \frac{-1\pm \sqrt{-3-4mn}}{2} &m \\ n &\frac{-1\pm \sqrt{-3-4mn}}{2} \end{pmatrix}[/tex]

Hvor $m,n$ er reelle vilkårlige tall borsett fra $mn < 3/4$