Oppgaver [VGS]

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Drezky
Hilbert
Hilbert
Innlegg: 1023
Registrert: 06/12-2014 17:43

(Oppgåve 1)

[tex]\frac{1}{x^2-10x-45}+\frac{1}{x^2-10x-29}-\frac{2}{x^2-10x-69}=0[/tex]

Finn den positive løsningen.

(Oppgåve 2)

Regn ut :

[tex]\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}[/tex]


(Oppgåve 3)

Finn det ubestemte integralet

[tex]\int \frac{x}{1-x^2+\sqrt{1-x^2}}\, dx[/tex]

(Oppgåve 4)


La [tex]x_1=97[/tex], og for [tex]n>1[/tex] la [tex]x_n=\frac{n}{x_n-1}[/tex]. Finn [tex]x_1*x_2*...*x_8[/tex]

(Oppgåve 5)

Finn summen av løsningene til likningen:

[tex]\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}[/tex]

(Oppgåve 6)

Hva er det største positive heltallet [tex]n[/tex] slik at [tex]n^3+100[/tex] er delelig med [tex]n+10[/tex]?

(Oppgåve 7)

[tex]\left ( \sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7} \right )\left (-\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7} \right )\left ( \sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7} \right )\left ( \sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7}\right )[/tex]

Hva er produktet lik?

(Oppgåve 8)

[tex]\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006}[/tex] kan skrives som [tex]a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}[/tex] hvor [tex]a,b,c \in \mathbb{Z}^+[/tex]. Finn verdien av [tex]abc[/tex]

(Oppgåve 9)

Hvis [tex]f(x+3)=3x^2+7x+4[/tex] og [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]. Hva er [tex]a+b+c[/tex] lik?

(Oppgåve 10)

Hvis [tex]\sin \alpha +\sin \beta =\sqrt{\frac{5}{3}}[/tex] og [tex]\cos \alpha +\cos \beta =1[/tex]. Hva er [tex]\cos(\alpha -\beta )[/tex]?

(Oppgåve 11)

[tex]\sqrt{3}\sin (x)+\cos (x)=c[/tex] hvor [tex]x \in \left [ 0, 2 \pi \right ][/tex].
For hvilke verdier av [tex]c[/tex] har denne likningen A én løsning B to løsninger og C null løsninger

(Oppgåve 12)

Hva er det følgende uttrykket lik:

[tex]\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}[/tex]

(Oppgåve 13)

[tex]\left | x-1 \right |=\left | x-2 \right |[/tex]

Finn x.

(Oppgåve 14)

Gitt at [tex]-4\leq x\leq -2 \, \, \, \, U \,\,\, 2\leq y\leq 4[/tex]

Hva er den største verdien av [tex]\frac{x+y}{x}[/tex]?


[tex]\Large EDIT[/tex]: La til flere oppgaver

Dette får holde for min del ......
Sist redigert av Drezky den 25/12-2016 22:24, redigert 1 gang totalt.
[tex]i*i=-1[/tex]



Omnia mirari etiam tritissima - Carl von Linné
( Find wonder in all things, even the most commonplace.)

Det er åpning og lukking av ionekanaler i nerveceller som gjør det mulig for deg å lese dette.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

6. $\frac{n^3+100}{n+10}=n^2-10n+100-\frac{900}{n+10}$, så n=890 er det største tallet slik at høyresida er et heltall.
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Oppgave 3
Finn det ubestemte integralet
\[ \int \frac{x}{1-x^2+\sqrt{1-x^2}}\ dx. \]

Løsning
Vi setter $u=\sqrt{1-x^2}$, slik at $dx=-\frac{u}{x}du$, og integralet blir
\[ -\int \frac{1}{u+1}\ du = -\ln\lvert u+1\rvert+C=-\ln\left(\sqrt{1-x^2}+1\right)+C. \]
Drezky
Hilbert
Hilbert
Innlegg: 1023
Registrert: 06/12-2014 17:43

plutarco skrev:6. $\frac{n^3+100}{n+10}=n^2-10n+100-\frac{900}{n+10}$, så n=890 er det største tallet slik at høyresida er et heltall.
Jepp, er det mulig å anvende den euklidske algortimen her?

Hvis [tex]\frac{n^3+100}{n+10}=r, r\in \mathbb{Z}^+[/tex]
må vel [tex]sfd(n+10,n^3+100)=n+10?[/tex]

stensrud skrev:Oppgave 3
Finn det ubestemte integralet
\[ \int \frac{x}{1-x^2+\sqrt{1-x^2}}\ dx. \]

Løsning
Vi setter $u=\sqrt{1-x^2}$, slik at $dx=-\frac{u}{x}du$, og integralet blir
\[ -\int \frac{1}{u+1}\ du = -\ln\lvert u+1\rvert+C=-\ln\left(\sqrt{1-x^2}+1\right)+C. \]
Sneket seg en liten feil i [tex]du=..dx[/tex] ?



Jeg gjorde det kanskje litt mer omstendelig enn det burde vært.

[tex]\int \frac{x}{1-x^2+\sqrt{1-x^2}}\ dx[/tex]

[tex]u=1-x^2\Longrightarrow u'=-2x[/tex]

[tex]\frac{du}{dx}=-2x\Longleftrightarrow du=-2xdx\Longleftrightarrow -\frac{1}{2}du=xdx[/tex]

Dermed kan vi erstatte telleren og dx,

[tex]-\frac{1}{2}\int \frac{1}{u+\sqrt{u}}du[/tex]

Substitusjon igjen;
[tex]z=\sqrt{u}\Longleftrightarrow z^2=u\Longrightarrow 2zdz=du[/tex]

[tex]-\frac{1}{2}\int \frac{2z}{z^2+z}dz=-\frac{1}{2}*2\int \frac{z}{z(z+1)}dz=-\int \frac{1}{z+1}dz[/tex]


[tex]-\int \frac{1}{z+1}dz=-\ln\left | z+1 \right |+C[/tex]

Innfører tilbake subtitusjonen:

[tex]-\ln\left | z+1 \right |+C=-\ln\left | \sqrt{u}+1 \right |+C=-\ln \left | \sqrt{1-x^2}+1 \right |+C[/tex]
[tex]i*i=-1[/tex]



Omnia mirari etiam tritissima - Carl von Linné
( Find wonder in all things, even the most commonplace.)

Det er åpning og lukking av ionekanaler i nerveceller som gjør det mulig for deg å lese dette.
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

1:

[tex]\frac{1}{x^2-10x-45}\,-\,\frac{1}{x^2-10x-29}=0[/tex]

som gir:

[tex]x^2-10x-29\,-\,(x^2-10x-45)=0[/tex]

ingen løsning eksisterer
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Janhaa skrev:1:

[tex]\frac{1}{x^2-10x-45}\,-\,\frac{1}{x^2-10x-29}=0[/tex]

som gir:

[tex]x^2-10x-29\,-\,(x^2-10x-45)=0[/tex]

ingen løsning eksisterer
Fiffig, Herr Wolfram foreslår at likninga har 2 løsninger, hvorav en er positiv :|
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Drezky skrev: Sneket seg en liten feil i [tex]du=..dx[/tex] ?
Tror ikke det: Med $u=\sqrt{1-x^2}$ så er
\[ \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{u}, \]
så da må $dx=-\frac{u}{x}du$, slik som jeg skrev?
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Kay skrev:
Janhaa skrev:1:
[tex]\frac{1}{x^2-10x-45}\,-\,\frac{1}{x^2-10x-29}=0[/tex]
som gir:
[tex]x^2-10x-29\,-\,(x^2-10x-45)=0[/tex]
ingen løsning eksisterer
Fiffig, Herr Wolfram foreslår at likninga har 2 løsninger, hvorav en er positiv :|
Var litt rask der ja; etter å ha multiplisert med F. N. og rydda opp fås:

[tex]64(x-13)(x+3)=0[/tex]
som gir
[tex]x=-3[/tex]
[tex]x=13[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

7:

[tex]\large (-\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})( \sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7})=2\sqrt{30}-4[/tex]
og
[tex](\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})( \sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7})=2\sqrt{30}+4[/tex]
DVs
[tex]\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}) (-\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7})( \sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7}\right )[/tex]
[tex]=(2\sqrt{30}+4)(2\sqrt{30}-4)=4\cdot 30-4^2=104[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Drezky
Hilbert
Hilbert
Innlegg: 1023
Registrert: 06/12-2014 17:43

stensrud skrev: Tror ikke det: Med $u=\sqrt{1-x^2}$ så er
\[ \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{u}, \]
så da må $dx=-\frac{u}{x}du$, slik som jeg skrev?
Stemmer, så ikke helt overgangen :oops:

Janhaa skrev: Var litt rask der ja; etter å ha multiplisert med F. N. og rydda opp fås:

[tex]64(x-13)(x+3)=0[/tex]
som gir
[tex]x=-3[/tex]
[tex]x=13[/tex]
[tex]\frac{1}{x^2-10x-45}+\frac{1}{x^2-10x-29}-\frac{2}{x^2-10x-69}=0[/tex]

Subtitusjon; [tex]u=x^2-10x-29[/tex] gir oss:

[tex]\frac{1}{u-16}+\frac{1}{u}-\frac{2}{u-40}=0 \Longleftrightarrow (u-40)(u-16)+u(u-40)-2u(u-16)=0[/tex]

Som gir : [tex]-64u+40*16=0\Longleftrightarrow u=10[/tex]

[tex]u=x^2-10x-29=10\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow x^2-10x-39=0[/tex]

Som med litt triksing gir oss :


[tex]\Large x^2{\color{Blue} {-10x}}-39=x^2{\color{Blue} {-13x+3x}}-39=x^2{\color{Blue} {+3x}}-39{\color{Blue} {-13x}}=x(x+3)-13(x+3)=(x+3)(x-13)[/tex]

Som gir [tex]\boxed {x=13}[/tex]



7

[tex]\left ( \sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7} \right )\left ( -\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7} \right )\left ( \sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7} \right )\left ( \sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7} \right )[/tex]

Bruker konjugatsetningen [tex](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/tex] og ender opp med:

[tex]\left ( \left ( \sqrt{6}+\sqrt{7} \right )^2-\left (\sqrt{5} \right )^2\right )\left ( \left ( \sqrt{5} \right )^2-\left ( \sqrt{6}-\sqrt{7} \right )^2 \right )=\left ( 13+2\sqrt{42}-5 \right )\left ( 5-\left ( 13-2\sqrt{32} \right ) \right )=\left ( 2\sqrt{42}+8 \right )\left ( 2+\sqrt{42} -8\right )=\left ( 2\sqrt{42} \right )^2-\left ( 8 \right )^2=4*42-64=104[/tex]
[tex]i*i=-1[/tex]



Omnia mirari etiam tritissima - Carl von Linné
( Find wonder in all things, even the most commonplace.)

Det er åpning og lukking av ionekanaler i nerveceller som gjør det mulig for deg å lese dette.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Drezky skrev:
plutarco skrev:6. $\frac{n^3+100}{n+10}=n^2-10n+100-\frac{900}{n+10}$, så n=890 er det største tallet slik at høyresida er et heltall.
Jepp, er det mulig å anvende den euklidske algortimen her?
Det er vel ekvivalent med det jeg har gjort hvis vi ganger hele likningen med n+10 ?
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

2:
Her kan vi bruke Sophie Germain identiteten.

[tex]x^4+4y^4 = (x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2-2xy)[/tex]

på første uttrykk i teller har vi da:

[tex]10^4+324 = 10^4 + 4*3^4=(10^2+2*3^2+2*10*3)*(10^2+2*3^2-2*10*3)=(100+18+60)(100+18-60)=178*58[/tex]
.
.
.
tilsvarende for de andre:
på siste uttrykk i nevner har vi da:

[tex]52^4+324 = 52^4 + 4*3^4=(52^2+2*3^2+2*52*3)*(52^2+2*3^2-2*52*3)=3034*2410[/tex]

hvilket gir totalt uttrykket og brøken:

[tex]\frac{178*58*634*370*1378*970*2410*1858*3730*3034}{58*10*370*178*970*634*1858*1378*3034*2410}=373[/tex]

hvordan har du løst den?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Drezky
Hilbert
Hilbert
Innlegg: 1023
Registrert: 06/12-2014 17:43

Janhaa skrev:
hvordan har du løst den?
Brukte også at [tex]a^4+4b^4=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)[/tex] =)
[tex]i*i=-1[/tex]



Omnia mirari etiam tritissima - Carl von Linné
( Find wonder in all things, even the most commonplace.)

Det er åpning og lukking av ionekanaler i nerveceller som gjør det mulig for deg å lese dette.
Skogmus
Noether
Noether
Innlegg: 46
Registrert: 21/05-2014 19:04

5:

[tex]\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}\Rightarrow \sqrt[4]{x}(7-\sqrt[4]{x})=12\Rightarrow 0=(\sqrt[4]{x})^2-7\sqrt[4]{x}+12[/tex]

Som med substitusjon [tex]u=\sqrt[4]{x}[/tex] blir [tex]u^2-7u+12=0\Rightarrow u=3\vee u=4[/tex]

Dermed [tex]\sqrt[4]{x}=3\vee \sqrt[4]{x}=4\Rightarrow x_{1}=3^4=81,x_{2}=4^4=256[/tex]

Summen av løsningene til likningene lik [tex]x_{1}+x_{2}=81+256=337[/tex]
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

8:

[tex]104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006=(a*\sqrt{2}+b*\sqrt{3}+c*\sqrt{5})^2[/tex]

dette gir:
[tex]ab=52[/tex]
[tex]bc=72[/tex]
[tex]ac=234[/tex]
slik at:
[tex]abc=\sqrt{ab\cdot bc \cdot ac}= 936[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Svar